thumbnail|318x318px|Matemática na Arte: Gravura em placa de cobre de Albrecht Dürer (Dürer) Melancholia I, 1514. As referências incluem uma bússola para a geometria, uma quadrado mágico e um romboedro truncado, enquanto a medição é indicada pela escala e pela ampulheta. Matemática e arte estão relacionadas de várias maneiras. É comum encontrar matemática descrita como uma arte pela beleza ou elegância das suas formulações, e a sua presença pode ser encontrada na música, dança, pintura, arquitetura, escultura, artes têxteis, cinema.
As ligações entre ambas as disciplinas são múltiplas e muito diversas, desde a utilização de padrões geométricos, módulos e redes, até às aplicações de perspectiva, criação ou correção de ilusões de ótica (das colunas gregas à Op-Art), o uso de diferentes medidas com o uso de dispositivos tecnológicos que foram possíveis graças ao desenvolvimento da matemática (lente, aplicações a laser etc.), ao fato de a matemática ter sido decisiva em diversas vanguardas do século XX.
Este artigo centra-se na influência da matemática nas artes visuais, em vez da análise de obras de arte baseadas na matemática. Em 2006, um estudo afirmou que as pinceladas das estrelas e do céu pintadas em junho de 1889 por Vincent van Gogh na sua pintura A Noite Estrelada se ajustavam à equação de turbulências criadas em 1941 por Andrei Kolmogorov. Van Gogh gostava de astronomia e até procurou explicações científicas para o cromatismo das estrelas, porém não é possível inferir uma influência direta das teorias da turbulência nesta obra.
A matemática e a arte têm uma longa relação histórica, desde os primórdios da história da arte até artistas recentes como Liz Paley. A existência de artistas matemáticos está documentada desde o século IV a.C., quando o escultor grego Policleto escreveu o seu Cânon, prescrevendo proporções baseadas na relação para o nu masculino ideal. Curiosamente, alegadas evidências do uso do número de ouro na arte e arquitetura antigas estão se tornando cada vez mais frequentes, embora sem nenhuma base confiável para apoiar as teorias. Mesmo algumas obras podem ter uma relação casual e não causal com a proporção áurea. No Renascimento italiano, Luca Pacioli escreveu o influente tratado De divina proportione (1509), ilustrado com xilogravuras de Leonardo da Vinci, sobre o uso da proporção áurea na arte. Outro italiano, Piero della Francesca, desenvolveu as ideias de Euclides sobre perspectiva em tratados como De Prospectiva Pingendi e nas suas próprias pinturas. O gravador Dürer fez inúmeras referências à matemática na sua obra. Nos tempos modernos, o artista gráfico M. C. Escher fez uso intenso do tesselado e geometria hiperbólica com a ajuda do matemático Harold Scott MacDonald Coxeter, enquanto o movimento De Stijl liderado por Theo van Doesburg e Pieter Mondrian abraçou explicitamente as formas geométricas. A matemática também inspirou as artes têxteis dos teares, tapetes e outras criações. Na arte islâmica, as simetrias são evidentes em formas tão variadas como o girih persa e o zellige< marroquino, azulejos, abóbadas decoradas, etc.
A influência direta da matemática na arte é evidenciada no uso de ferramentas como a perspectiva, a análise da simetria, ou a presença em diversas obras de objetos matemáticos que exerceram atração sobre artistas de diferentes períodos, como o poliedros (em pinturas e desenhos de Dürer, Marcus Wenninger, Wenzel Jamnitzer, Lorenz Stoer, Giorgio de Chirico e outros, e, claro, em escultura e arquitetura), ou a faixa de Möbius descoberta independentemente pelos matemáticos August F. Möbius e J. Benedict Listing, e pelo escultor Max Bill, que se considerou o primeiro a descrever a forma.
Conceitos matemáticos como recursão e paradoxos lógicos podem ser vistos nas pinturas de René Magritte e nas gravuras do já citado M. C.Escher. A arte computacional frequentemente faz uso de fractais, incluindo o conjunto Mandelbrot, e às vezes explora objetos matemáticos como autômatos celulares. De forma polêmica, ligando a óptica à pintura, o artista David Hockney argumentou que a partir do Renascimento a maioria dos artistas utilizou a câmera lúcida para desenhar representações precisas de cenas; e o arquiteto Philip Steadman argumentou da mesma forma que Johannes Vermeer usou a camera obscura na composição das suas pinturas.
Outras relações incluem a análise algorítmica de obras de arte usando fluorescência de raios X, ou a descoberta de que batiks tradicionais de diferentes regiões da Ilha de Java têm composições fractais. A arte por vezes serviu de estímulo para a pesquisa matemática, especialmente no caso da teoria da perspectiva de Filippo Brunelleschi, que acabou por orientar Girard Desargues ao desenvolvimento da geometria projetiva. Uma visão persistente, baseada em última instância na noção pitagórica de harmonia musical, sustenta que o universo é organizado de acordo com relações numéricas, que Deus é o geômetra do mundo e que a geometria é, portanto, sagrada, conforme refletido em obras de arte como O Ancião dos Dias por William Blake.
Origens: da Grécia Antiga ao Renascimento O filósofo Platão (c. 428—347 a.C.) considerava que a beleza carregava um aspecto intelectual. Para o platonismo, a beleza matemática é vinculada com a perfeição quase inalcançável e que permite ao observador visualizar a relação de cada parte com o todo. Sob a influência dos pensamentos racionalistas de Platão, o entendimento da beleza da Matemática que perdurou da Grécia Antiga até o Renascimento se dava a partir dos conjuntos de verdades lógicas que a compõem.
"Canone" e "simetria" de Policleto thumbnail|Cópia em mármore romano do Doríforo de Policleto.
Policleto (c. 450–420 a.C.) foi uma escola de Escultura Grega de Argos. O tema das suas obras consistia principalmente em atletas. Segundo o matemático Xenócrates, Policleto foi um dos mais importantes escultores da Antiguidade pelo seu trabalho sobre o Doríforo e a estátua de Hera. As suas esculturas podem não ser tão famosas quanto as de Fídias, mas também eram muito admiradas. No seu "Canone", um tratado que ele escreveu para documentar as proporções "perfeitas" da anatomia do nu masculino, introduziu uma abordagem matemática para esculpir o corpo humano.
Policleto usou o comprimento da falange do dedo mindinho do módulo básico para determinar as proporções do corpo humano, multiplicou o seu comprimento por para obter a distância da segunda falange (falangina) e multiplicou o comprimento novamente por para obter o comprimento da terceira falange. Então, pegou o comprimento desse dedo e multiplicou por para obter o comprimento da palma da base do dedo até a unha. Esta série geométrica de medidas progride para formar o braço, o peito e o corpo completo com todas as suas partes. "A figura base é um quadrado do comprimento e largura da falange distal do dedo mínimo. As suas diagonais laterais transformam o quadrado num retângulo . Na Figura 5, esta figura retangular marca a largura e o comprimento da falange medial adjacente. O comprimento da falange medial é girado diagonalmente para obter a falange proximal e, da mesma forma, daí para o punho, do punho para o cotovelo e do cotovelo para o topo do ombro. Cada novo passo avança o ponto de articulação da diagonal."
A influência do Cânone de Policleto é imensa na escultura da Grécia antiga, Roma e da Renascença, e numerosos escultores seguiram as suas prescrições. Embora nenhuma das suas obras originais tenha sobrevivido, as cópias romanas mostram o seu cânone ideal e precisão matemática. Alguns estudiosos argumentam que o pensamento pitagórico influenciou Policleto, aplicando os conceitos matemáticos básicos da geometria grega, como razão, proporção e symmetria (grego para "harmonia nas proporções") e transformando-os num sistema capaz de descrever a forma humana através de uma série de séries geométricas contínuas.
Perspectiva e proporção miniaturadaimagem|Experimento de Filippo Brunelleschi sobre perspectiva linear Nos tempos clássicos, pintores atribuíam tamanhos às figuras conforme sua importância no quadro — na Idade Média, alguns artistas utilizavam a perspectiva reversa para enfatizar objetos — e não desenhavam conforme uma linha de perspectiva. O árabe Alhazém descreveu a teoria da óptica em seu livro Kitāb al-Manāẓir, publicado em 1021, mas a teoria não foi aplicada na arte. No Renascimento, com o reviver da cultura da Grécia e Roma Clássica, reviveu também o estudo da matemática para compreender a natureza e a arte. Dois motivos principais impulsionaram esse estudo da matemática voltado à arte: os pintores precisavam pensar em como construir objetos de três dimensões em uma tela de duas dimensões; e filósofos e artistas estavam convencidos de que a matemática era a verdadeira essência do mundo físico e de que todo universo, incluindo a arte, poderia ser explicado a partir de termos geométricos.
As bases do estudo da perspectiva surgiram com Giotto di Bondone, que tentou desenhar em perspectiva utilizando um método geométrico para terminar a localização de linhas distantes. Em 1415, o arquiteto italiano Filippo Brunelleschi e seu amigo Leon Battista Alberti demonstraram um método geométrico de aplicação de perspectiva, utilizando triângulos semelhantes, como formulado por Euclides, para encontrar a altura aparente de objetos distantes. As pinturas de Brunelleschi sobre perspectiva estão perdidos, mas a pintura de Masaccio da Santíssima Trindade apresenta os mesmos princípios.
O pintor italiano Paolo Uccello era fascinado por perspectiva, como suas pinturas sobre A Batalha de São Romano (c. 1435 — 1460) exibem: as pontas de lanças se alinham com as linhas de perspectiva.
O pintor inglês David Hockney argumenta que os artistas, após a criação da câmera lúcida na década de 1420, apresentaram maior precisão e realismo, como nas obras de Jean-Auguste Dominique Ingres, Jan van Eyck e Caravaggio. Críticos debatem se Hockney estava correto ou não. Similarmente, alguns artistas, como o arquiteto Philip Steadman, argumenta que, por exemplo, Johannes Vermeer utilizou de outro instrumento, a câmera escura, para auxiliá-lo em sua pintura.esquerda|miniaturadaimagem|Paolo Uccello apresentou um uso inovador da perspectiva em A Batalha de São RomanoUm dos exemplos dessa mudança do pensamento renascentista é o pintor Piero della Francesca, experiente na área de matemática e geometria, escreveu livros sobre geometria sólida e perspectiva, incluindo De prospectiva pingendi, Trattato d'Abaco e De quinque corporibus regularibus. O historiador Giorgio Vasari em Le vite o considera como o "maior geômetra de seu tempo, ou talvez de sempre". O interesse de della Francesca na perspectiva pode ser observado em suas pinturas, como Políptico de Santo António e A Flagelação de Cristo. Seus estudos na geometria, baseado em conceitos clássicos dos trabalhos de Arquimedes, influenciaram matemáticos posteriores, incluindo Luca Pacioli e Leonardo da Vinci. Ele aprendeu aritmética comercial em "escolas de ábaco" — talvez até com o livro de Leonardo Fibonacci Liber Abaci, assim sua escrita se assemelhava a escrita dos textos didáticos das escolas.
Influenciado por della Francesca, em 1508, Luca Pacioli publicou Divina proportione, que elabora sobre proporção matemática e artística, incluindo sobre a proporção do rosto humano. Durante os séculos XV e XVI, Leonardo da Vinci ilustrou sólidos regulares a partir dos estudos de della Francesca. Seus desenhos são provavelmente as primeiras ilustrações de sólidos esqueléticos. Por exemplo, em Mona Lisa e A Última Ceia, da Vinci incorporou a perspectiva linear ao inserir um ponto de fuga para dar ideia de profundidade. Em A Última Ceia e na pintura de Rafael Escola de Atenas, há uma proporção de 12:6:4:3. Além disso, no Homem Vitruviano, Leonardo expressa a ideia do arquiteto romano Vitrúvio, exibindo duas figuras de homens no centro de uma circunferência e de um quadrado.