Seria Bertrand este o serie definită prin:
unde și sunt numere reale.
Este atribuită matematicianului francez Joseph Bertrand.
Exemple de serii Bertrand:
Studiul convergenței Pentru a studia convergența acestei serii, mai întâi se va ține cont de faptul că dacă atunci șirul nu este mărginit deci nu tinde la zero. Înseamnă că seria:
este divergentă. De aceea se presupune că
Se vor considera cazurile: Cazul 1: Fie Atunci Se remarcă faptul că:
Deoarece avem:
Astfel, pentru avem:
ceea ce implică:
Deoarece rezultă că seria este divergentă, deci și seria:
este divergentă.
Cazul 2: Fie Deci Avem:
Deoarece rezultă:
Astfel, pentru se obține:
ceea ce implică:
Seria este convergentă deoarece Rezultă că seria:
este convergentă.
Cazul 3: Considerăm funcția:
E ușor de verificat că, pentru un x suficient de mare (mai exact ), funcția este descrescătoare. Vom demonstra atunci că:
și
unde M este un număr întreg astfel ales încât f(x) este descrescătoare pe De remarcat faptul că deci:
și dacă (putem să luăm ), atunci avem:
Se consideră trei subcazuri:
Cazul a.: atunci avem:
Deoarece rezultă că seria nu este mărginită, deci este divergentă.
Cazul b.: atunci avem:
dar, deoarece:
pentru valori mari ale lui n, obținem:
ceea ce înseamnă că șirul sumelor parțiale asociate seriei:
este marginit. Deci seria este convergentă.
Cazul c.: avem:
ceea ce implică:
Dar cum:
ajungem la concluzia că șirul sumelor parțiale asociat seriei:
nu este mărginit. Deci seria nu este divergentă.
Concluzii În final, concluziile în ceea ce privește seria lui Bertrand:
sunt următoarele:
Seria este convergentă indiferent de valoarea lui Seria este divergentă indiferent de valoarea lui Seria este convergentă dacă și numai dacă
Exemple De exemplu, seriile:
și
sunt divergente iar seria:
este convergentă.
Vezi și Postulatul lui Bertrand Legături externe SOSMath.com Gilles.Costantini.PagesPerso-Orange.fr UEL.education.fr MateForum.ro
Categorie:Serii matematice