În matematică, o matrice elementară este o matrice în care prin înmulțirea la stânga cu o matrice oarecare se efectuează operații elementare asupra liniilor, iar prin înmulțirea la dreapta se realizează operații elementare asupra coloanelor. Aceste operații elementare sunt: schimbarea a două linii/coloane între ele; înmulțirea tuturor elementelor unei linii/coloane cu un scalar; adunarea la toate elementele unei linii/coloane a elementelor altei linii/coloane înmulțite cu un scalar.

Aceste operații elementare sunt întâlnite la dezvoltarea unui determinant după elementele unei linii sau coloane transformate în prealabil pentru a conține cât mai multe nule sau la aducerea în forma LU necesară pentru eliminarea gaussiană.

În continuare, se consideră matrice cu elemente într-un corp. Vom numi „rând” al unui matrice o linie sau o coloană a acelei matrice, dar de aceeași natură (linie sau coloană) în cadrul aceleiași operații.

Există următoarele tipuri de matrici elementare: matricea unitate = matricea identitate matricea nulă matricea de transpunere matricea de înmulțire matricea de adunare

Matricea identitate Matricea unitate (sau matricea identitate) de dimensiune n este o matrice pătrată având toate elementele de pe diagonala principală egale cu 1, iar restul elementelor egale cu 0. Se notează cu: In (sau mai simplu cu I dacă nu există confuzii privind dimensiunea).

Se mai notează:

sau:

unde este simbolul lui Kronecker: 1 dacă i=j, 0 altfel.

Cea mai importantă proprietate a acestei matrice este de a fi element neutru la înmulțirea matricelor:

Matricea nulă Matricea nulă (sau matricea zero) de dimensiune are toate elementele egale cu zero. Cea mai importantă proprietate este că este element neutru la adunarea matricilor.

Matricea transpunerii În această matrice, Tij, sunt schimbate toate elementele unui rând i cu elementele corespondente ale rândului j. Elementele acestei matrice sunt obținute prin schimbarea liniei i cu linia j în matricea unitate; schimbând coloana i cu coloana j, se obține același rezultat:

Proprietăți Inversa acestei matrice este ea însăși: Tij−1=Tij; Determinantul acestei matrice este egal cu -1; Produsul matricelor: Tij.A este matricea obținută din A schimbând între ele liniile i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate; Produsul matricelor: A.Tij este matricea obținută din A schimbând între ele coloanele i și j, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de înmulțire Această matrice, Ti(k), înmulțește toate elementele unui rând i cu scalarul k. Matricea care rezultă din această transformare este obținută prin înlocuirea elementului de pe poziția i,i al matricei unitate:

Proprietăți Inversa acestei matrice este: Ti(k)−1 = Ti(1/k). det[Ti(k)] = k. Produsul matricilor: Ti(k).A este matricea obținută din A înmulțind elementele liniei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate; Produsul matricilor: A.Ti(k) este matricea obținută din A înmulțind elementele coloanei i cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Matricea de adunare

Proprietăți Inversa acestei matrici: Tij(k)−1 = Tij(−k) . det[Tij(k)] = 1. Produsul matricilor: Tij(k).A este matricea obținută din A adunând la elementele liniei i pe cele ale liniei j înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate; Produsul matricilor: A.Tij(k) este matricea obținută din A adunând la elementele coloanei j pe cele ale coloanei i înmulțite cu scalarul k, celelalte elemente rămânând neschimbate.

Aplicații Matricele de transformare elementară sunt utilizate în special în algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare și în algoritmii de inversare a matricelor.

Referințe Axler, Sheldon Jay, Algebră liniară, ISBN 0-387-98259-0 Lay, David C., Algebră liniară și aplicații, ISBN 978-0-321-28713-7 Meyer, Carl D., Analiză matriceală și algebră liniară aplicată”, ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html Poole, David, Algebră liniară: o introducere modernă”, ISBN 0-534-99845-3 Anton, Howard, Algebră liniară și aplicații Leon, Steven J., Algebră liniară și aplicații Ion D.Ion, C.Niță, Elemente de aritmetică cu aplicații în tehnica de calcul, Editura tehnică, București, 1978

Categorie:Algebră liniară Categorie:Matrice