În analiză numerică diferențele divizate reprezintă un algoritm recursiv folosit pentru a calcula coeficienții unui polinom de interpolare în forma Newton.
Diferențele divizate reprezintă o discretizare a derivatei unei funcții. Derivata se obține prin trecerea la limită a diferențelor divizate.
Definiție Având în vedere k+1 puncte de date
Diferențele divizate înainte sunt definite ca:
Diferențele divizate înapoi sunt definite ca:
În continuare sunt prezentate diferențele divizate înainte, cele mai utilizate în practică. Pentru diferențele divizate înapoi, raționamentul este asemănător.
Observații Dacă punctele de date sunt valorile unei funcții ƒ,
uneori se scrie
Câteva notații pentru diferența divizată a funcției f pe nodurile 'x0, ..., xn sunt următoarele:
etc... Exemplu Pentru primele valori ale
Pentru a face procesul recursiv mai clar diferentele divizate pot fi puse într-o formă de tabel
Proprietăți Liniaritate
Regula Leibniz
Din teorema valorii intermediare, rezultă că
Pentru n=1, evident. Pentru n>1, demonstrația se continuă aplicând inducția matematică.
Tot prin inducție matematică, știind că orice permutare se poate reprezenta ca un produs de transpoziții, se demonstrează că: nu depinde de ordinea punctelor , ..., .
Bibliografie Dan Larionescu, Metode numerice, Editura Tehnică, 1989, p 77-80 Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980 D. V. Ionescu, Complemente de matematică pentru licee'', Editura Academiei RSR, 1981 www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009 http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010
Categorie: Analiză numerică divizate