250px|thumb|right|Dirac (circa 1930). 250px|thumb|right|Descoperirea pozitronului. Imagine din camera cu ceață, realizată de Anderson în 1932. Ecuația lui Dirac descrie cantitativ proprietățile electronului, pe baza principiilor mecanicii cuantice și teoriei relativității. Formulată în 1928 de fizicianul britanic Paul Adrien Maurice Dirac, ea este o ecuație diferențială pentru o mărime cu patru componente numită bispinor, care reprezintă funcția de stare a electronului.
Elaborată inițial pentru a explica structura fină a nivelelor de energie ale atomului de hidrogen, ecuația lui Dirac are consecințe mai profunde. Pentru electronul liber ea prezice, pe lângă spectrul continuu de stări cu energie superioară energiei de repaus, un spectru continuu de stări de energie negativă, nemărginit inferior, inacceptabil fizic ca atare. De asemenea, ea admite soluții care corespund unei particule cu aceeași masă ca electronul, dar de sarcină electrică opusă. Pornind de la aceste caracteristici, Dirac a formulat în 1931 ipoteza că ecuația sa nu descrie un singur electron, ci un sistem de particule, electroni dar și particule de sarcină opusă pe care le-a numit „antielectroni”. Examinând urmele lăsate de radiația cosmică în camera cu ceață, Carl Anderson a descoperit în 1932 o particulă cu caracteristicile antielectronului, care astfel a devenit realitate și a primit numele de pozitron.
Teoria multiparticulă construită pe această ipoteză, numită electrodinamică cuantică, descrie comportarea unui sistem de electroni și pozitroni care interacționează prin intermediul câmpului electromagnetic. Ea a căpătat forma definitivă în ultimii ani ai deceniului 1940, prin lucrările lui Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman și Freeman Dyson.
Electronul liber Funcția de stare relativistă a electronului are forma unui vector coloană cu patru elemente complexe
numit bispinor. Spațiul Hilbert al stărilor este spațiul vectorial cuadridimensional al bispinorilor, cu produsul scalar definit prin
Evoluția temporală a funcției de stare este dată de ecuația lui Dirac
cu hamiltonianul
Simbolurile care apar în aceste relații au următoarele semnificații:
e constanta Planck redusă; e viteza luminii în vid; e masa electronului; e operatorul atașat observabilei impuls; și sunt matrici numerice cu patru linii și patru coloane (matricile lui Dirac); este utilizată notația condensată de produs scalar .
Matricile lui Dirac au următoarele două proprietăți importante: ele anticomută, adică
iar pătratele lor sunt matricea unitate:
Aceste proprietăți fac ca ele să fie hermitice față de produsul scalar (2), deci hamiltonianul (4) este un operator hermitic, așa cum cer principiile mecanicii cuantice; el este operatorul asociat observabilei energie. Forma lor explicită depinde de baza aleasă în spațiul stărilor.
Argumentarea ecuației lui Dirac
Ecuația lui Schrödinger pentru particula liberă
poate fi „dedusă” din relația
dintre energie și impuls din mecanica clasică nerelativistă, înlocuind formal mărimile dinamice clasice prin operatori diferențiali, în raport cu timpul și poziția , asupra funcției de stare: Messiah, I, pp. 53–55.
Aici este operatorul nabla (gradient), iar operatorul laplacian.
În mecanica clasică relativistă relația (8) este înlocuită prin
iar aplicarea aceluiași procedeu formal conduce la ecuația Klein-Gordon
Această ecuație are defectul de a fi de ordinul doi în raport cu timpul, ceea ce înseamnă că, spre deosebire de situația din mecanica cuantică nerelativistă, starea particulei la un moment dat nu ar fi suficientă pentru a determina starea la un moment ulterior. În al doilea rând, soluția ecuației Klein-Gordon nu poate fi interpretată ca funcție de stare a electronului, fiindcă ea ar conduce la o densitate de probabilitate care nu e pozitiv definită. Messiah, II, pp. 762–764.Gottfried și Yan, pp. 577–578. Este deci de înțeles că structura fină a nivelelor de energie ale atomului de hidrogen calculată pe baza ei este în dezacord cu datele experimentale. Țițeica, p. 569.
Argumentul formal
Dirac a căutat o ecuație de stare care să fie de ordinul întâi în raport cu timpul, ca ecuația lui Schrödinger; pentru aceasta, a considerat, formal, rădăcina pătrată a relației (10):
Pentru a obține, în urma înlocuirii (9), o ecuație având forma (3), trebuie ca expresia de sub radical să fie pătratul unei forme liniare (4) în componentele impulsului . Această condiție poate fi realizată numai dacă mărimile și nu sunt simpli coeficienți numerici, ci matrici numerice cu patru linii și patru coloane care anticomută iar pătratele lor sunt matricea unitate.
Argumentul formal produce rezultatul corect, dar totodată sugerează concluzia incorectă că ecuația lui Dirac ar fi singura teorie cuantică relativistă; altfel spus, că nu ar exista decât particule de spin .
Covarianța relativistă
Prin „covarianța relativistă” a unei teorii fizice se înțelege invarianța de formă a legilor ei față de transformări Lorentz ale sistemului de referință inerțial în care aceste legi sunt formulate. În mecanica cuantică nerelativistă funcția de stare a unei particule de spin este o mărime cu două componente complexe, numită spinor, caracterizată printr-o anumită lege de transformare la rotații spațiale, și care satisface ecuația lui Schrödinger. Țițeica, pp. 235–241. Trecând de la rotații spațiale la transformări Lorentz, se constată că funcția de stare relativistă a unei particule de spin este o mărime cu patru componente complexe, care reunește doi spinori de specii diferite, numită bispinor. Impunând condiția de covarianță relativistă, împreună cu ordinul întâi în raport cu timpul și cu comportarea de undă plană De Broglie, concluzia este că acest bispinor trebuie să satisfacă ecuația lui Dirac. Țițeica, pp. 566–568.Gottfried și Yan, pp. 584–585. Criteriul de covarianță relativistă este o metodă generală de a obține ecuații relativist covariante pentru particule de spin arbitrar.
Stările electronului liber
Funcția de stare a unui electron liber, determinată din ecuația lui Dirac (3) cu hamiltonianul (4), are forma unei unde plane de impuls p și energie E
unde valorile posibile ale energiei se determină rezolvând ecuația lui Dirac independentă de timp
Pentru calcul, este convenabil ca bispinorul Dirac (cu patru componente) să fie împărțit în doi spinori Pauli (cu câte două componente):
Corespunzător, matricile lui Dirac pot fi scrise ca matrici 2 × 2 având ca elemente tot matrici 2 × 2; o reprezentare convenabilă pentru electronul liber (ca și pentru electronul în câmp extern, la energii apropiate de energia de repaus) este Țițeica, p. 574.
unde sunt matricile lui Pauli, 1 e matricea unitate, iar 0 e matricea cu toate elementele zero. Se obține sistemul liniar omogen de patru ecuații cu patru necunoscute (componentele spinorilor și )
Condiția de a avea o soluție nebanală conduce la relația (10), ceea ce confirmă punctul de plecare al teoriei. Extrăgând radicalul, rezultă că la fiecare valoare a impulsului corespund două valori Ep și -Ep, unde
Bispinorul propriu depinde de mărimile observabile care descriu complet starea electronului: impulsul p (care poate avea orientare și mărime arbitrare), energia (care poate avea valori pozitive E ≥ mc2 și negative E ≤ -mc2) și helicitatea λ (care poate avea valorile +ħ/2 și -ħ/2). Calculul determinanților minori în ecuațiile (17) arată că numai unul dintre spinorii și este liniar independent; el este ales, în funcție de semnul energiei și al helicității, dintre vectorii proprii ai matricii , care sunt și În notație bra-ket pentru bispinorii normați la unitate
rezultatul este cel din tabel (unde pentru simplitate e utilizat un sistem de unități naturale în care c = 1). Messiah, II, p. 796.
+ Bispinorii Dirac pentru electronul liber
Valorile negative ale energiei sunt inacceptabile din punct de vedere fizic, deoarece spectrul lor nu este mărginit inferior. Sub acțiunea unei forțe externe care ar produce o creștere a impulsului, energia electronului aflat într-o astfel de stare ar scădea – o situație nefizică. Țițeica, p. 578. Această problemă nu există în cadrul teoriei relativiste clasice, deși energia și impulsul sunt legate prin aceeași relație (10), fiindcă energia variază continuu în decursul mișcării: dacă ea este inițial pozitivă, își va păstra semnul. În teoria relativistă cuantică există procese în care energia variază discontinuu, tranziții de la stări de energie pozitivă la stări de energie negativă fiind posibile. Țițeica, p. 580.
Electronul în câmp extern
Electronul liber este un concept idealizat; electronul real are o sarcină electrică (negativă prin convenție) și este supus acțiunii câmpului electromagnetic. Pentru un electron care interacționează cu un câmp electromagnetic descris de potențialul vector și potențialul scalar trebuie luate în considerare contribuțiile câmpului la impulsul și energia electronului. Aceasta revine la a face în ecuația lui Dirac pentru electronul liber înlocuirile Jackson, p. 582.
unde este sarcina electronului, adică sarcina elementară cu semn negativ. Ecuația lui Dirac pentru electronul în câmp extern are deci forma
Ecuația de continuitate
Pe baza ecuației (21), se obține prin calcul direct relația
care are forma unei ecuații de continuitate. Mărimile
și
sunt interpretate ca densitate de probabilitate, respectiv densitate a curentului de probabilitate, pentru localizarea electronului. Densitatea de probabilitate, care e pozitiv definită, trebuie să fie normată la unitate în volumul la care e limitată mișcarea particulei. Țițeica, p. 576.
Conjugarea de sarcină
Considerând complexa conjugată a ecuației (21) și utilizând proprietățile matricilor lui Dirac, se verifică prin calcul direct că există o matrice nesingulară astfel încât funcția
satisface aceeași ecuație (21), dar cu semnul sarcinii schimbat (). Relația dintre funcțiile și este reciprocă, adică
În reprezentarea (16) pentru matricile lui Dirac, matricea C are forma explicită
Funcția care satisface ecuația lui Dirac pentru o particulă cu masă egală dar cu sarcină de semn contrar, se numește conjugata de sarcină a funcției Țițeica, p. 575.
Electroni și pozitroni
În 1929 Dirac a propus o interpretare a stărilor de energie negativă ale electronului, bazată pe ipoteza că soluțiile ecuației lui Dirac nu se referă la o singură particulă, ci la un sistem constând dintr-un număr infinit de particule; pentru aceasta, el a invocat ca argumente principiul de excluziune al lui Pauli și conjugarea de sarcină. În această interpretare, există o stare a sistemului în care toate stările de energie negativă sunt ocupate, conform principiului de excluziune (electronii fiind fermioni), iar toate stările de energie pozitivă sunt neocupate. Adăugând la această stare o particulă, ea nu va putea ocupa decât o stare de energie pozitivă, deci se va comporta ca un electron normal. Eliminând o particulă de energie negativă, „gaura” rămasă se va comporta ca o particulă de energie pozitivă (conform legii conservării energiei) și de sarcină opusă (conform legii conservării sarcinii); ținând seama de conjugarea de sarcină, ea va fi o soluție a ecuației lui Dirac. Această interpretare, care a primit numele de teoria găurilor, a fost dezvoltată de Dirac în 1931, într-un articol în care prezicea existența unei particule reale, având masă egală cu a electronului dar sarcină electrică pozitivă, pe care a numit-o antielectron. Examinând urmele lăsate în camera cu ceață de radiația cosmică, Anderson a descoperit o traiectorie ai cărei parametri indicau o particulă cu caracteristicile antielectronului prezis, care a primit numele de pozitron (1932).