Ecuația lui Cauchy pe
Ecuația funcțională considerată de Cauchy încă înainte de anul 1900, s-a dovedit deosebit de dificilă. Determinarea soluțiilor discontinue ale acestei ecuații a dat de lucru multor matematicieni.
Noțiuni introductive
Definiție: Ecuația funcțională se numește ecuația lui Cauchy iar soluțiile ei se numesc funcții aditive.
Proprietăți Teoremă: Dacă este o funcție aditivă, atunci : (a) pentru orice (b) pentru orice și (c) Funcția este funcție aditivă și restricția ei la este
Demonstrație: Din condiția prin inducție rezultă și în particular deci Deci Avem: deci și deci Pentru obținem deci punctele (a), (b) din teoremă sunt demonstrate. (c) Din (a) deci Avem deci este aditivă.
Observația:Dacă este o funcție aditivă și atunci sau este o mulțime densă în
Bibliografie V. Pop, Ecuații funcționale. Ecuații clasice și probleme, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2002. J. Aczel, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York and London, 1966.
Vezi și Ecuația funcțională exponențială
Categorie:Analiză funcțională Categorie:Ecuații