Teorema lui Laplace, numită și dezvoltarea lui Laplace sau regula lui Laplace, este un rezultat fundamental în algebra liniară care permite calculul determinantului unei matrice pătrate prin reducerea acestuia la o sumă de determinanți de ordin mai mic. Teorema afirmă că determinantul unei matrice pătrate poate fi dezvoltat după un număr arbitrar de linii sau coloane, exprimându-se ca o sumă de produse între minori complementari și cofactorii corespunzători.Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, p. 89.
Teorema oferă o metodă repetitivă de evaluare a determinanților și stă la baza unor rezultate importante din teoria matricelor, precum definirea matricei adjuncte și obținerea formulei de inversare a unei matrice inversabile. Teorema poartă numele matematicianului francez Pierre-Simon Laplace, care a formulat și sistematizat această metodă în secolul al XVIII-lea, contribuind la dezvoltarea teoriei determinanților și a calculului algebric.Gheorghe Galbură, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972, p. 45.
Istoric
Deși reguli de calcul pentru determinanții de ordin mic erau cunoscute anterior prin lucrările lui Gottfried Wilhelm Leibniz și Gabriel Cramer, una dintre primele abordări generale ale teoriei determinanților îi aparține lui Alexandre-Théophile Vandermonde, care a publicat în 1771 rezultate fundamentale privind proprietățile acestora. În anul următor, Pierre-Simon Laplace a extins și generalizat aceste rezultate, demonstrând că un determinant poate fi dezvoltat ca o sumă de produse între minorii formați din linii sau coloane și complemenții lor algebrici.Becheanu, M., Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Universitatea din București, 1998, p. 50.
La începutul secolului al XIX-lea, Augustin-Louis Cauchy a contribuit la formalizarea teoriei determinanților, introducând termenul modern de „determinant” și dezvoltând un cadru riguros pentru studiul proprietăților acestora. Lucrările sale au consolidat demonstrația și aplicațiile teoremei lui Laplace în contextul matricelor cu elemente într-un corp comutativ.Bușneag, I., Chirteș, F., Piciu, D., Algebră Liniară, Universitatea din Craiova, 2001, p. 113.
Definiții preliminare
Pentru formularea și demonstrarea teoremei lui Laplace sunt necesare câteva noțiuni fundamentale din teoria determinanților. Teorema lui Laplace se exprimă în termeni de minori și complemenți algebrici ai acestora, noțiuni care generalizează conceptul clasic de cofactor al unui element din matrice.Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, pp. 84–88.
Minor de ordin k Fie , o matrice pătrată de ordin , cu elemente într-un corp . Pentru definirea minorilor se consideră un număr natural , astfel încât
Se aleg linii distincte ale matricei , de indici
, și coloane distincte, de indici
Submatricea formată la intersecția acestor linii și coloane este
, iar determinantul ei se numește minor de ordin al matricei . Acesta se notează prin
Prin urmare,
Numărul total al minorilor de ordin ai unei matrice de ordin este egal cu , deoarece alegerea liniilor și a coloanelor se face independent.Ion, I.D., Radu, N., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981, pp. 112–113.
Minor complementar
După alegerea liniilor
și a coloanelor , rămân neutilizate
linii și
coloane. Determinantul submatricei formate din acestea se numește minor complementar al minorului
Acesta se notează:
Minorul complementar are ordinul și are un rol esențial în formularea generală a dezvoltării lui Laplace.Gheorghe Galbură, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972, pp. 44–46.
Complement algebric
Asociat fiecărui minor de ordin se definește un complement algebric (numit și cofactor generalizat), obținut prin înmulțirea minorului complementar cu un factor de semn.
Dacă
și ,
atunci complementul algebric al minorului
este definit prin relația:
Semnul depinde exclusiv de paritatea sumei indicilor liniilor și coloanelor selectate. Pentru cazul particular , definiția coincide cu noțiunea clasică de cofactor al elementului , adică: , unde reprezintă minorul obținut prin eliminarea liniei și a coloanei .Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, pp. 88–90.
Enunțul teoremei
Cazul general
Fie , o matrice pătrată de ordin , și fie fixate linii ale acesteia, de indici , unde .
Teorema lui Laplace spune că determinantul matricei poate fi exprimat ca suma produselor dintre toți minorii de ordin construiți pe liniile fixate și complemenții lor algebrici corespunzători. Cu alte cuvinte, determinantul se obține prin însușirea tuturor termenilor formați dintr-un minor de ordin și complementul său algebric, asociate tuturor selecțiilor posibile de coloane ale matricei.Becheanu, M., Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Universitatea din București, 1998, pp. 51–52.
Dacă
reprezintă o alegere la întâmplare a celor coloane, atunci minorul
și complementul său algebric
contribuie la dezvoltarea determinantului prin produsul lor.
Adunarea se efectuează după toate combinațiile posibile ale indicilor . Numărul termenilor care apar în dezvoltare este egal cu , corespunzând numărului de moduri în care pot fi alese coloane din cele coloane ale matricei.Becheanu, M., Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Universitatea din București, 1998, pp. 51–52.
Formula generală a dezvoltării lui Laplace este
.
Teorema este simetrică în raport cu liniile și coloanele. Prin urmare, aceeași relație rămâne valabilă dacă se aleg coloane ale matricei și se adună termenii corespunzători tuturor alegerilor posibile ale liniilor.Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, pp. 90–92.
Importanța acestui rezultat constă în faptul că permite reducerea calculului unui determinant de ordin la calculul unor determinanți de ordin mai mic. Aplicată succesiv, dezvoltarea lui Laplace furnizează o metodă repetitivă de calcul al determinantului și reprezintă fundamentul mai multor rezultate clasice din teoria matricelor, inclusiv construcția matricei adjuncte.Gheorghe Galbură, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1972, pp. 45–47.
Cazul particular
Pentru , teorema lui Laplace se reduce la forma sa cea mai cunoscută, și anume dezvoltarea determinantului după o singură linie sau după o singură coloană. În acest caz, minorii de ordinul 1 sunt chiar elementele matricei, iar complemenții algebrici coincid cu cofactorii clasici.
Dacă se fixează linia de indice , atunci determinantul matricei se exprimă prin relația
, unde reprezintă minorul obținut prin eliminarea liniei și a coloanei din matricea inițială.
Notând prin , cofactorul elementului , formula anterioară poate fi scrisă sub forma
.
Într-un mod asemănător, pentru o coloană fixată de indice , dezvoltarea determinantului este dată de relația
.
Această formă particulară este cea mai utilizată în calculul explicit al determinanților de ordin mic și constituie punctul de plecare pentru numeroase demonstrații din algebra liniară elementară. Totodată, ea evidențiază rolul cofactorilor și explică legătura dintre dezvoltarea lui Laplace și construcția matricei adjuncte.Vasile Pop, Algebră liniară, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2003, pp. 74–76.
Demonstrație
Demonstrația teoremei lui Laplace pornește de la formula lui Leibniz pentru determinanți.
Dacă , atunci determinantul lui este dat de relația
, unde este grupul simetric de grad , iar reprezintă semnul permutării .Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983, pp. 91–93.
Se consideră linii fixate ale matricei, de indici .
Termenii care apar în formula lui Leibniz pot fi grupați după mulțimea coloanelor asociate acestor linii. Pentru fiecare alegere a indicilor , permutațiile corespunzătoare se descompun în două familii independente: una asociată submatricei determinate de liniile și coloanele selectate, iar cealaltă asociată submatricei complementare.
Prin regruparea termenilor și utilizarea proprietăților semnului unei permutări, suma tuturor termenilor corespunzători aceleiași alegeri a coloanelor se exprimă sub forma , adică produsul dintre minorul de ordin și complementul său algebric.Becheanu, M., Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Universitatea din București, 1998, pp. 52–53.
Însumând aceste produse pentru toate alegerile posibile ale celor coloane, se obține relația
, care reprezintă formula generală a dezvoltării lui Laplace.
În cazul particular , demonstrația se reduce la dezvoltarea determinantului după o singură linie sau o singură coloană. Formula obținută coincide cu expresia clasică a determinantului ca sumă a produselor dintre elementele unei linii (sau coloane) și cofactorii lor corespunzători.
Exemple de calcul Dezvoltarea după o linie a unui determinant de ordin 3
Se consideră determinantul
.
Aplicând teorema lui Laplace după a doua linie, se obține
.
Deoarece primul termen este nul, rezultă
.
Cofactorul elementului este
.
Cofactorul elementului este
.
Prin urmare,
, de unde .
Rezultă că
.
Acest exemplu ilustrează dezvoltarea determinantului după o linie. Alegerea celei de-a doua linii simplifică calculul deoarece unul dintre elementele acesteia este nul, reducând numărul de cofactori care trebuie calculați.
Dezvoltarea după o coloană a unui determinant de ordin 3
Se consideră determinantul
.
Aplicând teorema lui Laplace după a doua coloană, se obține
.
Deoarece primul și ultimul termen sunt nuli, relația se reduce la .
Cofactorul elementului este
, iar determinantul minorului este .
Prin urmare,
, și .
Rezultă că
.
Acest exemplu ilustrează dezvoltarea determinantului după o coloană. Alegerea celei de-a doua coloane este avantajoasă deoarece aceasta conține două elemente nule, astfel încât dezvoltarea lui Laplace conduce la calculul unui singur cofactor.
Calculul unui determinant de ordin 4 prin dezvoltări succesive
Se consideră determinantul
.
Aplicând teorema lui Laplace după a treia linie, se obține
, de unde .
Pentru cofactorul , se elimină a treia linie și a doua coloană, obținându-se
.
Determinantul de ordin 3 se dezvoltă după a doua coloană:
.
Calculând determinanții de ordin 2, rezultă
.
Prin urmare, .
Pentru cofactorul , se elimină a treia linie și a treia coloană, obținându-se
.
Determinantul de ordin 3 se dezvoltă după prima linie:
.
Prin urmare, .
Înlocuind valorile obținute pentru cei doi cofactori în dezvoltarea determinantului după a treia linie, rezultă
, adică .
Efectuând calculele, se obține .
Prin urmare,
.
Acest exemplu evidențiază caracterul repetitiv al teoremei lui Laplace. Determinantul de ordin 4 este redus la calculul unor determinanți de ordin 3, iar aceștia sunt reduși la determinanți de ordin 2, care se calculează direct.
Compararea dezvoltării după o linie și după o coloană
Teorema lui Laplace permite dezvoltarea determinantului după orice linie sau coloană a unei matrici pătrate. Indiferent de alegerea făcută, rezultatul obținut este același.
Se consideră determinantul
Dezvoltarea după prima linie
Aplicând teorema lui Laplace după prima linie, se obține
, de unde .
Se calculează cofactorii:
,
și
.
Prin urmare,
.
Dezvoltarea după a doua coloană
Aplicând teorema lui Laplace după a doua coloană, rezultă
, adică .
Cofactorii sunt
,
și
.
Rezultă că,
.
Rezultă că
, indiferent dacă dezvoltarea se efectuează după o linie sau după o coloană. Acest fapt reflectă simetria teoremei lui Laplace în raport cu liniile și coloanele unei matrice pătrate.
Dezvoltarea generală pentru