miniatura| al unui cu două generatoare. Acesta este un a cărui este o mulțime Cantor. Grupurile hiperbolice și frontierele lor sunt subiecte importante în teoria grupurilor geometrice, ca și grafurile Cayley. Teoria geometrică a grupurilor este un domeniu matematic dedicat studiului grupurilor finit generate prin explorarea legăturilor dintre proprietățile algebrice ale unor astfel de grupuri și proprietățile topologice și geometrice ale spațiilor pe care aceste grupuri (adică atunci când grupurile în cauză sunt realizate ca simetrii geometrice sau transformări continue ale unor spații).
O altă idee importantă în teoria geometrică a grupurilor este aceea de a considera grupurile finit generate ca obiecte geometrice. Aceasta se face de obicei prin studierea ale grupurilor, care, pe lângă structura de graf, sunt dotate cu structură de spațiu metric, dat de așa numita .
Teoria geometrică a grupurilor, ca domeniu distinct, este relativ nouă și a devenit o ramură clar identificabilă a matematicii la sfârșitul anilor 1980 și începutul anilor 1990. Teoria geometrică a grupurilor interacționează îndeaproape cu , geometria hiperbolică, topologia algebrică, teoria computațională a grupurilor și geometria diferențială. Există, de asemenea, legături substanțiale cu teoria complexității, logica matematică, studiul grupurilor Lie și subgrupurile lor discrete, sistemele dinamice, teoria probabilităților, și alte domenii ale matematicii.
În introducerea cărții Topics in Geometric Group Theory, Pierre de la Harpe scria: „Una dintre convingerile mele personale este că fascinația față de simetrii și grupuri este o modalitate de a face față frustrărilor limitelor vieții: ne place să recunoaștem simetriile care ne permit să recunoaștem mai mult decât ceea ce vedem. În acest sens, studiul teoriei geometrice a grupurilor este o parte a culturii, și îmi amintește de mai multe lucruri pe care Georges de Rham le practica în mai multe rânduri, cum ar fi predarea matematicii, recitarea lui Mallarmé, sau salutul adresat unui prieten”.P. de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.
Istorie Teoria geometrică a grupurilor a reieșit din , care studia în mare măsură proprietățile grupurilor discrete prin analiza care descriu grupurile drept factori ai ; acest domeniu a fost mai întâi studiat sistematic de , student al lui Felix Klein, la începutul anilor 1880, și formă timpurie se găsește în 1856 în al lui William Rowan Hamilton, care a studiat grupul de simetrie icosaedrală, prin intermediul grafului muchiilor dodecaedrului. În prezent, teoria combonatorică a grupurilor este, ca domeniu, în mare parte subsumată teoriei geometrice a grupurilor. Mai mult, termenul „teoria geometrică a grupurilor” a ajuns adesea să studieze grupuri discrete folosind metode probabilistice, de teoria măsurii, aritmetice, analitice și alte abordări care se află în afara arsenalului tradițional de al teoriei combinatorice a grupurilor.
În prima jumătate a secolului al XX-lea, lucrările de pionierat ale lui , , și , , , printre alții, au introdus câteva idei topologice și geometrice în studiul grupurilor discrete.Bruce Chandler and . The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, vo. 9. Springer-Verlag, New York, 1982. Alți precursori ai teoriei geometrice a grupurilor sunt și . Prima a fost introdusă de Martin Grindlinger în anii 1960Martin Greendlinger, Dehn's algorithm for the word problem. , vol. 13 (1960), pp. 67–83.Martin Greendlinger, An analogue of a theorem of Magnus. , vol. 12 (1961), pp. 94–96. și dezvoltată în continuare de și . and , Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1977. Reprinted in the "Classics in mathematics" series, 2000. Ea studiază , care corespund prezentărilor grupurilor finite, prin condițiile combinatorice de curbură și derivă proprietățile algebrice și algoritmice ale grupurilor din astfel de analize. Teoria Bass-Serre, introdusă în cartea lui Serre din 1977,J.-P. Serre, Trees. Translated from the 1977 French original by . Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980. . oferă informații structurale algebrice despre grupuri prin studierea acțiunilor de grup pe arbori simpliciali. Printre precursorii externi ai teoriei geometrice a grupurilor se numără studiul laticelor în grupurile Lie, în special , studiul și progresele realizate în și în geometria hiperbolică în anii 1970 și la începutul anilor 1980 determinate, în special, de lui .
Apariția teoriei geometrice a grupurilor ca domeniu distinct al matematicii este de obicei identificată la sfârșitul anilor 1980 și începutul anilor 1990. Ea a fost stimulată de monografia lui Mihail Gromov din 1987 „Grupurile hiperbolice”Mikhail Gromov, Hyperbolic Groups, in "Essays in Group Theory" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75–263. care a introdus noțiunea de , care surprinde ideea unui grup finit generat ca având curbură negativă pe scară largă, și monografia sa Invarianții asimptotici ai grupurilor infiniteMikhail Gromov, "Asymptotic invariants of infinite groups", in "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 1–295. care rezuma programul lui Gromov de înțelegere a grupurilor discrete până la . Lucrarea lui Gromov a avut un efect transformator asupra studierii grupurilor discreteIliya Kapovich and Nadia Benakli. Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. From the Introduction:" In the last fifteen years geometric group theory has enjoyed fast growth and rapidly increasing influence. Much of this progress has been spurred by remarkable work of M. L. Gromov [in Essays in group theory, 75–263, Springer, New York, 1987; in Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1–295, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993], who has advanced the theory of word-hyperbolic groups (also referred to as Gromov-hyperbolic or negatively curved groups).", Hyperbolic 3-manifolds and the geometry of the curve complex. , pp. 103–115, Eur. Math. Soc., Zürich, 2005. From the Introduction:" Much of this can be viewed in the context of geometric group theory. This subject has seen very rapid growth over the last twenty years or so, though of course, its antecedents can be traced back much earlier. [...] The work of Gromov has been a major driving force in this. Particularly relevant here is his seminal paper on hyperbolic groups [Gr]."Gabor Elek. The mathematics of Misha Gromov. Acta Mathematica Hungarica, vol. 113 (2006), no. 3, pp. 171–185. From p. 181: "Gromov's pioneering work on the geometry of discrete metric spaces and his quasi-isometry program became the locomotive of geometric group theory from the early eighties." iar fraza „teoria geometrică a grupurilor” a început să apară imediat după aceea. (a se vedea, de exemplu,Geometric group theory. Vol. 1. Proceedings of the symposium held at Sussex University, Sussex, July 1991. Edited by Graham A. Niblo and Martin A. Roller. London Mathematical Society Lecture Note Series, 181. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. .).
Temele și evoluțiile moderne Temele notabile și evoluțiile teoriei grupurilor geometrice din anii 1990 și 2000 includ:
Programul lui Gromov de studiu al proprietăților cvasiizometrice ale grupurilor.
O temă larg răspândită în zonă este programul lui GromovMikhail Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, in "Geometric Group Theory", Vol. 2 (Sussex, 1991), London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 1–295. de clasificare a în funcție de geometria lor la scară largă. Formal, aceasta înseamnă clasificarea grupurilor finit generate cu până la cvasiizometrie. Acest program implică: Studiul proprietăților care sunt invariabile în raport cu . Exemple de astfel de proprietăți ale grupurilor finit generate sunt: a unui grup finit; sau a unui ; numărul de capete ale unui grup; ; tipul de homeomorfism al a unui grup hiperbolic;Iliya Kapovich and Nadia Benakli. Boundaries of hyperbolic groups. Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), pp. 39–93, Contemp. Math., 296, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002. ale grupurilor finit generate (vezi, de exemplu,Tim R. Riley, Higher connectedness of asymptotic cones. , vol. 42 (2003), no. 6, pp. 1289–1352.Linus Kramer, Saharon Shelah, Katrin Tent, and Simon Thomas. Asymptotic cones of finitely presented groups. , vol. 193 (2005), no. 1, pp. 142–173.); și altele Teoremele care folosesc invarianți de cvasiizometrie pentru a demonstra rezultatele algebrice despre grupuri, de exemplu: ; Teorema capetelor a lui Stallings; . Variații de rigiditate cvasiizometrică, în care se clasifică algebric toate grupurile care sunt cvasiizometrice cu un anumit grup sau spațiu metric. Această direcție a fost inițiată de lucrarea lui cu privire la rigiditatea cvasiizometrică a laticelor de rang unuR. E. Richard. The quasi-isometry classification of rank one lattices. Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques. No. 82 (1995), pp. 133-168. și la lucrarea lui Farb și Mosher depre rigiditatea cvasiizometrică a . B. Farb and L. Mosher. A rigidity theorem for the solvable Baumslag-Solitar groups. With an appendix by Daryl Cooper. , vol. 131 (1998), no. 2, pp. 419–451.
Teoria grupurilor și . O dezvoltare deosebit de importantă este cea a lui Sela din anii 1990, din care a rezultat soluția problemei izomorfismului pentru grupurile cuvânt-hiperbolice.Z. Sela, The isomorphism problem for hyperbolic groups. I. Annals of Mathematics (2), vol. 141 (1995), no. 2, pp. 217–283. Noțiunea de grupuri relativ hiperbolice a fost la început introdusă de Gromov în 1987Mikhail Gromov, Hyperbolic Groups, in "Essays in Group Theory" (Steve M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, pp. 75–263. și rafinată de FarbB. Farb. Relatively hyperbolic groups. Geometric and Functional Analysis, vol. 8 (1998), no. 5, pp. 810–840. și Bowditch,B. H. Bowditch. Treelike structures arising from continua and convergence groups. Memoirs American Mathematical Society vol. 139 (1999), no. 662. în anii 1990. Studiul grupurilor relativ hiperbolice a devenit proeminent în anii 2000. Interacțiunile cu logica matematică și cu studiul teoriei de ordinul întâi a grupurilor libere. Progrese deosebit de importante s-au realizat pe marginea celebrelor , datorită activității lui SelaZ.Sela, Diophantine geometry over groups and the elementary theory of free and hyperbolic groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), pp. 87–92, Higher Ed. Press, Beijing, 2002. și a celei lui Harlampovici și Meanikov.O. Kharlampovich and A. Myasnikov, Tarski's problem about the elementary theory of free groups has a positive solution. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 4 (1998), pp. 101–108. Studiul grupurilor limită și introducerea limbajului și mecanismelor geometriei algebrice necomutative a ieșit la rampă. Interacțiunile cu informatica, teoria complexității și teoria limbajelor formale. Această temă este exemplificată de dezvoltarea teoriei ,D. B. A. Epstein, J. W. Cannon, D. Holt, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Word processing in groups. Jones and Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992. o noțiune ce impune anumite condiții geometrice și teoria limbajelor asupra operației de înmulțire într-un grup finit generat. Studoul inegalităților izoperimetrice, funcțiilor Dehn și generalizărilor lor pentru grupul finit prezentat. Aceasta include, în particular, activitatea lui Birget, Olșanski, și SapirM. Sapir, J.-C. Birget, E. Rips, Isoperimetric and isodiametric functions of groups.