În matematică, un functor este o aplicație între categorii. Functorii au fost analizați pentru prima oară în , unde obiectele algebrice (cum ar fi ) sunt asociate spațiilor topologice, iar aplicațiile dintre aceste obiecte algebrice sunt asociate aplicațiilor continue între spații. În prezent, functorii sunt utilizați în întreaga matematică modernă cu referire la diferite categorii. Astfel, functorii sunt importanți în toate domeniile matematicii cărora li se aplică teoria categoriilor.
Cuvântul functor a fost împrumutat de matematicieni de la filozoful Rudolf Carnap, care îl folosea în contextul lingvisticii;Carnap, Rudolf (1937). The Logical Syntax of Language, Routledge & Kegan, pp. 13–14. vezi cuvânt gramatical.
Definiție Fie C și D categorii. Un functor F de la C la D este o aplicație care
asociază fiecărui obiect din C un obiect din D, asociază fiecărui morfism din C un morfism din D, astfel încât următoarele două condiții să fie valabile: pentru orice obiect din C, pentru orice morfisme și din C.
Adică functorii trebuie să conserve morfismul identitate și de morfisme.
Covarianță și contravarianță Există multe construcții în matematică care ar fi functori, cu excepția faptului că „inversează morfismele” și „se compun invers”. Atunci se definește un functor contravariant F de la C la D ca o aplicație care
asociază fiecărui obiect din C un obiect din D, asociază fiecărui morfism din C un morfism din D, astfel încât următoarele două condiții să fie valabile: pentru orice obiect din C, pentru orice morfisme și din C.
Functorii contravarianți inversează direcția compoziției.
Functorii obișnuiți se numesc și functori covarianți pentru a-i distinge de cei contravarianți. Functorii contravarianți se pot defini și ca functori covarianți pe . Unii autori preferă să scrie toate expresiile covariant. Adică, în loc să spună că este un functor contravariant, ei scriu pur și simplu (sau uneori ) și îl numesc functor.
Functorii contravarianți sunt numiți, uneori, și cofunctori.
Există o convenție referitoare la „vectori” adică câmpuri vectoriale, elemente ale spațiului secțiunilor al unui drept „contravariant” și la „covectori” adică , elemente ale spațiului secțiunilor al unui fibrat cotangent drept „covariant”. Această terminologie își are originea în fizică, iar raționamentul său are legătură cu poziția indicilor („sus” și „jos”) în precum pentru sau pentru În acest formalism se observă că simbolul transformării de coordonate (reprezentând matricea ) acționează asupra vectorilor din bază „în același mod” ca și pe „coordonatele covectorului”: în vreme ce acționează „în sens invers” pe „coordonatele vectorului” (dar „în același mod” ca și pe covectorii din bază: ). Această terminologie este contrară celei utilizate în teoria categoriilor, deoarece covectorii sunt cei care au în general pullback, și sunt astfel contravarianți, în timp ce, în general, vectorii sunt covarianți, deoarece asupra acestora se poate face push forward.
Functorul opus Orice functor induce functorul opus unde și sunt ale lui , respectiv . Prin definitie, mapează obiectele și morfismele identic cu . Întrucât nu coincide drept categorie cu , și analog pentru , este distinct de . De exemplu, când se face compunerea lui cu , trebuie folosit fie , fie . Conform proprietății categoriilor opuse, .
Bifunctori și multifunctori Un bifunctor (cunoscut și ca un functor binar) este un functor al cărui domeniu este o . De exemplu, este de tipul . Acesta poate fi văzut ca un functor cu două argumente. este un exemplu natural; este contravariant într-un argument, covariant în celălalt.
Un multifunctor este o generalizare a conceptului de functor la n variabile. De exemplu, un bifunctor este un multifunctor cu .
Exemple : pentru categoriile C și J, o diagramă de tip J în C este un functor covariant .
: Pentru categoriile C și J, un J-prefascicul pe C este un functor contravariant .
Prefascicul: Dacă X este un spațiu topologic, atunci mulțimile deschise din X formează o Open(X) în raport cu incluziunea. Ca orice mulțime parțial ordonată, Open(X) formează o categorie mică prin adăugarea unei singure săgeți dacă și numai dacă . Functorii contravarianți pe Open(X) se numesc pe X. De exemplu, atribuind fiecărei mulțimi deschise U a funcțiilor continue cu valori reale pe U, se obține un prefascicul de algebre pe X.
Functor constantă: functorul care asociază fiecărui obiect din C un obiect fix X din D și oricărui morfism din C morfismul identitate pe X. Un astfel de functor se numește un functor constant sau de selecție.
Endofunctor: un functor care mapează o categorie la aceeași categorie; de exemplu, .
Functorul identitate: în categoria C, scrisă 1C sau idC, mapează un obiect la sine însuși și un morfism la sine însuși. Functorul identitate este un endofunctor.
Functor diagonal: este definit ca functorul de la D la categoria functorilor DC care asociază fiecărui obiect din D functorul constant la acel obiect.
Functor limită: Pentru o fixă J, dacă fiecare functor are o (de exemplu dacă C este completă), atunci functorul limită atribuie fiecărui functor limita sa. Existența acestui functor poate fi demonstrată arătând că este al și invocând . Aceasta necesită o versiune adecvată a axiomei alegerii. Observații similare se aplică functorului colimită (care este covariant).
Mulțimi ale părților: Functorul mulțimii părților asociază fiecărei mulțimi ei, și fiecărei funcții aplicația care asociază lui imaginea sa . Se poate considera și functorul contravariant al mulțimii părților care asociază pe aplicației care asociază imaginii sale inverse
: aplicația care atribuie fiecărui spațiu vectorial său, și fiecărei aplicații liniare duala sau transpusa ei este un functor contravariant aplicat pe categoria tuturor spațiilor vectoriale pe un corp fix, către el însuși.
Grupul fundamental: Considerând categoria , adică spațiile topologice cu puncte distincte, obiectele sunt perechile , unde X este un spațiu topologic și x0 este un punct din X. Un morfism de la la este dat de o aplicație continuă cu .
Pe orice spațiu topologic X cu punct distinctiv x0, se poate defini bazat în x0, notat . Acesta este grupul claselor de a buclelor bazate în x0. Dacă este un morfism al , atunci fiecare buclă din X cu punctul de bază x0 poate fi compusă cu f pentru a obține o buclă în Y cu punctul de bază y0. Această operație este compatibilă cu relația de echivalență a omotopiei și cu compoziția buclelor și se obține un omomorfism de grup de la la . Se obține astfel un functor de la categoria spațiilor topologice orientate la .
În categoria spațiilor topologice (fără punct distinctiv), se iau în considerare clasele de omotopie ale curbelor generice, dar ele nu pot fi compuse decât dacă drept capăt un punct comun. Astfel, una este groupoidul fundamental în locul grupului fundamental, iar această construcție este functorială.
Algebra funcțiilor continue: un functor contravariant de la categoria spațiilor topologice (cu aplicațiile continue ca morfisme) la categoria reale este dat atribuind fiecărui spațiu topologic X algebra C(X) a tuturor funcțiilor continue definite pe acel spațiu. Orice aplicație continuă induce un prin regula pentru orice φ din C(Y).
Fibrate tangente și cotangente: Aplicațiile care asociază fiecărei la sa și la fiecărei derivata sa este un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile la categoria .
Făcând aceste construcții punctual rezultă , un functor covariant de la categoria varietăților diferențiabile orientate la categoria spațiilor vectoriale reale. Analog, este un functor contravariant, în esență, compoziția spațiului tangent cu spațiul dual de mai sus.
Produse tensoriale: Dacă cu C se notează categoria spațiilor vectoriale peste un corp fix, cu aplicațiile liniare ca morfisme, atunci definește un functor care este covariant în ambele argumente.
Două consecințe importante ale axiomelor functorilor sunt:
F transformă orice din C într-o diagramă comutativă din D; dacă f este un izomorfism în C, atunci F(f) este un izomorfism în D.
Se pot compune functori, adică dacă F este un functor de la A la B și G este un functor de la B la C, atunci se poate forma functorul compus de la A la C. Compoziția functorilor este asociativă acolo unde este definită. Identitatea compoziției functorilor este functorul identitate. Aceasta arată că functorii pot fi considerați morfisme în categoriile de categorii, de exemplu în .
O categorie mică cu un singur obiect este același lucru ca un monoid: morfismele unei categorii cu un singur obiect pot fi considerate ca elemente ale monoidului, iar compoziția din categorie este considerată operația monoidului. Functorii între categoriile cu un singur obiect corespund omomorfismelor monoidului. Deci, într-un sens, functorii dintre categoriile arbitrare sunt un fel de generalizare a omomorfismelor de monoid la categorii cu mai mult de un obiect.
Relația cu alte concepte de categorii Fie și categorii. Colecția tuturor functorilor formează obiectele unei categorii: . Morfismele din această categorie sunt între functori.
Functorii sunt adesea definiți prin ; exemple sunt , și al grupurilor sau spațiilor vectoriale, construcția grupurilor și modulelor libere, limitele și . Conceptele de generalizează mai multe dintre cele de mai sus.
Construcțiile universale dau adesea naștere unor perechi de .
Implementări pe calculator Functorii apar uneori în programarea funcțională. De exemplu, limbajul de programare Haskell are o Functor unde fmap este o funcție politipică folosită pentru a mapa (morfisme pe Hask, categoria tipurilor Haskell)Nu este clar întru totul că tipurile de date Haskell formează o categorie. Vezi https://wiki.haskell.org/Hask pentru mai multe detalii. între tipuri existente la funcții între unele tipuri noi.Vezi https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell pentru mai multe informații.
Note
Bibliografie
.
Legături externe
André Joyal, CatLab, un proiect wiki dedicat expunerii matematicii categorice introducerea formală în teoria categoriilor. J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats Stanford Encyclopedia of Philosophy: „Category Theory " - de Jean-Pierre Marquis. Bibliografie extensivă. Lista conferințelor academice de teoria categoriilor Baez, John, 1996, „The Tale of n-categories” . O introducere informală în categoriile de ordin superior. WildCats este un pachet de teoria categoriilor pentru . Manipularea și vizualizarea obiectelor, morfismelor, categoriilor, functorilor, , . Catsters, un canal YouTube despre teoria categoriilor. Arhivă video de discuții înregistrate referitoare la categorii, logică și fundamentele fizicii. Pagină interactivă care generează exemple de construcții categorice în categoria mulțimilor finite. Categorie:Matematică