În geometria diferențială, tensorul de curbură Ricci, numit după Gregorio Ricci-Curbastro, reprezintă cantitatea prin care volumul unei porțiuni conice înguste, dintr-o bilă geodezică mică, într-o curbată diferă față de cea a bilei standard din spațiul euclidian. Ca atare, ea oferă o modalitate de a măsura gradul în care geometria determinată de o anumită poate fi diferită de cea a -spațiului euclidian. Tensorul Ricci este definit pe orice , ca urmă a tensorului de curbură Riemann . Ca și în cazul metricii însăși, tensorul Ricci este o pe al varietății .Se presupune că varietatea are propria sa unică. Pentru o , nu este necesar ca tensorul Ricci să fie simetric.
În teoria relativității, tensorul Ricci este partea din curbura spațiului care determină gradul în care materia va avea tendința să conveargă sau să diveargă în timp (prin ). El este legat de conținutul materiei din univers prin intermediul ecuației de câmp Einstein. În geometria diferențială, limitele inferioare ale tensorului Ricci pe o varietate riemanniană permit să se extragă informații geometrice și topologice globale prin comparație (conform ) cu geometria unei de curbură constantă. Dacă tensorul Ricci satisface ecuația lui Einstein în vid, atunci varietatea este o , care a fost extensiv studiată (cf. ). În acest sens, ecuația guvernează evoluția unei metrici date în raport cu o metrică Einstein; modul precis în care se produce acest lucru duce în cele din urmă la rezolvarea conjecturii Poincaré.
Definiție Se presupune că este o -dimensională, echipată . Tensorul curburii riemanniene al lui este -tensorul definit de
pe câmpurile de vectori . Cu se notează la într-un punct . Pentru orice pereche de vectori tangenți și din , tensorul Ricci evaluat în este definit a fi urma aplicației liniare dată de
În (folosind ), avem
unde
În termeni de tensor de curbură Riemann și , avem
Datorită simetriilor tensorului de curbură Riemann, este posibil să existe un dezacord asupra , deoarece
,
Proprietăți Ca o consecință a , tensorul Ricci al unei varietăți riemanniene este , în sensul că
Rezultă astfel că tensorul Ricci este complet determinat prin cunoașterea cantității pentru toți vectorii de lungime unitară. Această funcție definită pe mulțimea de versori tangenți este adesea pur și simplu numită curbură Ricci, deoarece a o cunoaște pe ea este echivalent cu a cunoaște tensorul de curbură Ricci.
Curbura Ricci este determinată de curburile secționale ale unei varietăți riemanniene, dar în general conține mai puține informații. Într-adevăr, dacă este un vector de lungime unitate pe o -varietate riemanniană, atunci este exact de ori valoarea medie a curburii secționale, luată pe toate 2-planurile care conțin . Există o familie -dimensională a unor astfel de 2-planuri și deci numai în dimensiunile 2 și 3 tensorul Ricci determină tensorul complet al curburii. O excepție notabilă este atunci când varietatea este dată a priori ca o hipersuprafață a spațiului euclidian. , care determină curbura completă prin , este ea însăși determinată de tensorul Ricci, iar ale suprafeței superioare sunt și direcțiile proprii ale tensorului Ricci. Tensorul a fost introdus de Ricci din acest motiv.
În cazul în care funcția de curbură Ricci, este constantă pe mulțimea versorilor tangenți , varietatea riemanniană este considerată a avea o curbură Ricci constantă sau a fi o . Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă tensorul Ricci Ric este un multiplu constant al tensorului metric .
Curbura Ricci este considerată utilă ca multiplu al laplacianului tensorului metric . În mod specific, în coordonatele locale , componentele satisfac
Unde este , considerat ca acționând asupra funcțiilor . Acest fapt motivează, de exemplu, introducerea ecuației ca extindere naturală a ecuației căldurii pentru metrică. Alternativ, într-un bazat în , la punctul
Semnificație geometrică directă În apropierea oricărui punct dintr-o varietate riemanniană , se pot defini coordonatele locale preferate, numite . Acestea sunt adaptate la metrică astfel încât geodezicele prin corespund liniilor drepte prin origine, astfel încât distanța geodezică de la corespunde distanței euclidiene față de origine. În aceste coordonate, tensorul metric este bine aproximat de metrica euclidiană, în sensul precis că
De fapt, luând dezvoltarea în serie Taylor a metricii aplicate pe un câmp Jacobi de-a lungul unei geodezice radiale în sistemul normal de coordonate,
În aceste coordonate, elementul de volum metric are următoarea dezvoltare în :
care rezultă prin dezvoltarea rădăcinii pătrate a determinantului metricii.
Astfel, dacă curbura Ricci este pozitivă în direcția unui vector , regiunea conică din parcursă de o familie bine legată de segmente geodezice de lungime emanând de la , cu viteza inițială în interiorul unui con mic aproximativ , va avea un volum mai mic decât regiunea conică corespunzătoare din spațiul euclidian, cel puțin cu condiția ca să fie suficient de mic. În mod similar, dacă curbura Ricci este negativă în direcția unui vector dat , o astfel de regiune conică din varietate va avea în schimb un volum mai mare decât în spațiul euclidian.
Curbura Ricci este în esență o medie a curburilor în planele care cuprind . Astfel, dacă un con emis cu o secțiune transversală inițială circulară (sau sferică) devine distorsionat într-o elipsă (elipsoid), este posibil ca distorsiunea volumului să dispară dacă distorsiunile de-a lungul axelor principale se anulează reciproc. Curbura Ricci ar dispărea apoi de-a lungul lui . În aplicațiile fizice, prezența unei curburi secționale nenule nu indică neapărat prezența locală a vreunei mase; dacă o secțiune transversală inițială circulară a unui con de devine mai târziu eliptică, fără a-și schimba volumul, atunci aceasta se datorează efectelor de maree ale unei mase din altă locație.
Aplicații Curbura Ricci joacă un rol important în relativitatea generală, unde este termenul cheie în ecuațiile de câmp ale lui Einstein.
Curbura Ricci apare și în ecuația , unde o metrică riemanniană dependentă de timp este deformată în direcția minus curbura Ricci. Acest sistem de ecuații diferențiale parțiale este un analog neliniar al ecuației căldurii și a fost introdus pentru prima dată de la începutul anilor 1980. Deoarece căldura tinde să se răspândească printr-un solid până când corpul atinge o stare de echilibru de temperatură constantă, se poate spera ca fluxul Ricci să producă o geometrie de echilibru pentru o varietate pentru care curbura Ricci este constantă. Contribuțiile recente la subiect din partea lui Grigori Perelman arată acum că acest program funcționează suficient de bine în trei dimensiuni pentru a conduce la o clasificare completă a 3-varietăților compacte, de-a lungul liniei presupuse inițial de în anii 1970.
Pe o , curbura Ricci determină prima a varietății (mod torsiune). Totuși, curbura Ricci nu are o interpretare topologică analogică pe o varietate riemanniană generică.
Geometria și topologia globale Iată o scurtă listă a rezultatelor globale referitoare la varietățile cu curbură Ricci pozitivă; vezi și . Pe scurt, curbura Ricci pozitivă a unei varietăți riemanniene are consecințe topologice puternice, în timp ce (pentru dimensiunea cel puțin 3), curbura Ricci negativă nu are implicații topologice. (Curbura Ricci este considerată a fi pozitivă dacă funcția de curbură Ricci este pozitivă pe mulțimea vectorilor tangenți nenuli .) Sunt cunoscute unele rezultate și pentru varietăți pseudo-riemanniene.
afirmă că dacă curbura Ricci este limitată inferior pe o varietate riemanniană completă cu , atunci varietatea are diametrul , egalitatea survenind numai dacă varietatea este izometrică cu o sferă de curbură constantă . Prin argumentul spațiului de acoperire, rezultă că orice varietate compactă de curbură Ricci pozitivă trebuie să aibă un finit. afirmă că dacă o varietate completă -dimensională riemanniană are o curbură Ricci nenegativă, atunci volumul unei bile este mai mic sau egal cu volumul unei bile de aceeași rază în spațiul -euclidian. În plus, dacă cu se notează volumul bilei cu centrul în și de rază din varietate, și cu volumul bilei de rază don spațiul -euclidian, atunci funcția este crescătoare. (Ultima inegalitate poate fi generalizată la curbură arbitrară și este punctul cheie în demonstrația .) Cheeger-Gromoll afirmă că dacă o varietate riemanniană completă cu conține o linie, adică o geodezică astfel încât pentru orice , atunci este izometrică cu un spațiu produs . În consecință, o varietate completă de curbură Ricci pozitivă poate avea cel mult un capăt topologic. Teorema este adevărată și în cazul unor ipoteze suplimentare pentru complete (de signatură metrică ) cu tensor Ricci nenegativ ().
Aceste rezultate arată că curbura Ricci pozitivă are consecințe topologice puternice. Prin contrast, excluzând cazul suprafețelor, curbura Ricci negativă se știe acum că nu are implicații topologice; Lohkamp (1994) a arătat că orice varietate de dimensiuni mai mari decât 2 admite o metrică riemanniană de curbură Ricci negativă. (Pentru suprafețe, curbura Ricci negativă implică o curbură secțională negativă, dar acest lucru nu este destul de dramatic în toate dimensiunile mai mari.)
Comportamentul sub rescalare conformală Dacă metrica este schimbată prin înmulțirea ei cu un factor conformal , se dă tensorul Ricci al metricii noi, conform
unde este laplacianul Hodge (de spectru pozitiv) adică opusul urmei obișnuite a hessienei.
În special, având în vedere un punct dintr-o varietate riemanniană, este întotdeauna posibil să se găsească valori conformale pentru metrica pentru care tensorul Ricci dispare în . Aceasta este însă doar o afirmație punctuală; este de obicei imposibil ca curbura Ricci să dispară identic pe întreaga varietate printr-o rescalare conformală.
Pentru varietățile cu două dimensiuni, formula de mai sus arată că dacă este o funcție armonică, atunci scalarea conformală nu schimbă tensorul Ricci (deși îi schimbă totuși urma în raport cu metrica dacă f ≠ 0).
Tensor Ricci fără urmă În și în relativitatea generală, tensorul Ricci fără urmă al unei varietăți pseudo-rimaniene este tensorul definit de
unde este tensorul Ricci, este curbura scalară, este și este dimensiunea lui . Numele acestui obiect reflectă faptul că urma sa dispare automat:
Dacă , tensorul Ricci fără urmă dispare identic dacă și numai dacă
pentru un constant.
În matematică, aceasta este condiția ca să fie o . În fizică, această ecuație afirmă că este o soluție a ecuațiilor de câmp vid ale lui Einstein cu o constantă cosmologică.
Varietăți Kähler Pe o , curbura Ricci determină . Fibratul canonic de drepte este puterea exterioară a fibratului de olomorfe:
Conexiunea Levi-Civita corespunzătoare metricii pe dă naștere unei conexiuni pe . Curbura acestei conexiuni este cea dintre cele două forme definite de
unde este aplicația de pe fibratul tangent determinat de structura varietății Kähler. Forma Ricci este o 2-formă . este, până la un factor real constant, prima a fibratului canonic și, prin urmare, este un invariant topologic al lui (pentru compact) în sensul că depinde numai de topologia lui și a a structurii complexe.
Analog, forma Ricci determină tensorul Ricci prin
În coordonatele olomorfe locale , forma Ricci este dată de
unde este și
Dacă tensorul Ricci dispare, atunci fibratul canonic este plat, astfel încât poate fi redus local la un subgrup al grupului . Totuși, varietățile Kähler au deja o în , astfel încât holonomia (restricționată) a unei varietăți Kähler de tip Ricci este conținută în . În schimb, dacă holonomia (restrânsă) a unei varietăți rimmaniene -dimensionale în , atunci varietatea este o varietate Kähler Ricci-plată .
Generalizarea la conexiunile afine