thumb|Spirala lui Fermat pentru a > 0: ramura thumb|Spirala lui Fermat cu ambele ramuri
O spirală a lui Fermat, numită și spirală parabolică, este o curbă plană cu proprietatea că aria dintre oricare două spire complete consecutive ale spiralei este invariantă. Ca urmare, distanța dintre spire variază în proporție inversă cu distanța lor față de centrul spiralei, spre deosebire de spirala lui Arhimede (pentru care această distanță este invariantă) și de spirala logaritmică (pentru care distanța dintre spire este proporțională cu distanța față de centru). Spiralele lui Fermat sunt denumite după Pierre de Fermat.
Printre aplicațiile lor se numără racordarea curbelor cu curbură continuă, modelarea creșterii plantelor și a formei anumitor galaxii spirale, precum și proiectarea condensatoarelor variabile, a ansamblurilor de reflectoare pentru energia solară și a ciclotroanelor.
Reprezentare în coordonate Coordonate polare Reprezentarea spiralei lui Fermat în coordonate polare este dată de ecuația
pentru .
Parametrul este un factor de scară care influențează dimensiunea spiralei, dar nu și forma ei.
Cele două alegeri ale semnului determină cele două ramuri ale spiralei, care se întâlnesc neted în origine. Dacă aceleași variabile ar fi reinterpretate drept coordonate carteziene, aceasta ar fi ecuația unei parabole cu axă orizontală, care are, de asemenea, două ramuri situate deasupra și dedesubtul axei și care se întâlnesc în origine.
Coordonate carteziene Spirala lui Fermat cu ecuația polară
poate fi transformată în coordonatele carteziene folosind formulele standard de transformare și . Eliminarea lui din aceste formule cu ajutorul ecuației polare a spiralei conduce la ecuațiile parametrice ale unei ramuri a curbei:
iar pentru cea de-a doua ramură:
Aceste ecuații generează punctele ramurilor curbei atunci când parametrul parcurge numerele reale pozitive.
Pentru orice punct generat astfel, împărțirea lui la simplifică factorii din ecuațiile parametrice, rămânând ecuația mai simplă . În această ecuație se înlocuiește cu , formă obținută prin rearanjarea ecuației polare a spiralei, iar apoi cu , formula de transformare din coordonate carteziene în coordonate polare. Se obține astfel o ecuație a spiralei lui Fermat exprimată numai în funcție de și :
Deoarece semnul lui se pierde prin ridicarea la pătrat, această ecuație descrie ambele ramuri ale curbei.
Proprietăți geometrice thumb|O spirală a lui Fermat împarte planul în două regiuni conexe și congruente (în diagramă: neagră și albă)
Împărțirea planului O spirală completă a lui Fermat, formată din ambele ramuri, este o curbă netedă, fără puncte duble, spre deosebire de spirala lui Arhimede și de spirala hiperbolică. Asemenea unei drepte, unui cerc sau unei parabole, ea împarte planul în două regiuni conexe.
thumb|Definiția sectorului (albastru-deschis) și a unghiului pantei polare
Panta polară Din calculul vectorial în coordonate polare se obține formula
pentru panta polară și unghiul său , format de tangenta la curbă și cercul polar corespunzător (a se vedea diagrama și unghiul de înclinare al unei spirale).
Pentru spirala lui Fermat se obține
Prin urmare, unghiul pantei este monoton descrescător.
Curbura Din formula pentru curbura
unei curbe cu ecuația polară și din derivatele
se obține curbura spiralei lui Fermat:
În origine curbura este 0. Prin urmare, curba completă are în origine un punct de inflexiune, iar axa este tangenta sa în acel punct.
Aria dintre arce Aria unui sector al spiralei lui Fermat cuprins între punctele și este
thumb|Spirala lui Fermat: aria dintre arce învecinate După mărirea ambelor unghiuri cu se obține
Prin urmare, aria a regiunii aflate între două arce învecinate este
depinde numai de diferența dintre cele două unghiuri, nu de unghiurile însele.
În exemplul din diagramă, toate fâșiile învecinate au aceeași arie: .
Această proprietate este utilizată în electrotehnică la construirea condensatoarelor variabile.
thumb|Regiunile intermediare (albă, albastră și galbenă) au aceeași arie, egală cu aria cercului reprezentat.
Cazul particular studiat de Fermat În 1636, Fermat i-a trimis lui Marin Mersenne o scrisoare care conține următorul caz particular:
Fie . Atunci aria regiunii negre (a se vedea diagrama) este , adică jumătate din aria cercului cu raza . Regiunile dintre curbele învecinate (albă, albastră și galbenă) au aceeași arie, . Prin urmare: Aria dintre două arce ale spiralei după o rotație completă este egală cu aria cercului .
Lungimea arcului Lungimea arcului spiralei lui Fermat dintre două puncte poate fi calculată cu ajutorul unei integrale:
Această integrală conduce la o integrală eliptică, ce poate fi calculată numeric.
Lungimea arcului ramurii pozitive a spiralei lui Fermat, măsurată din origine, poate fi exprimată și prin funcții hipergeometrice și prin funcția beta incompletă :
thumb|Inversiunea spiralei lui Fermat (verde) este o spirală lituus (albastru)
Inversiunea față de cerc Inversiunea față de cercul unitate are în coordonate polare descrierea simplă .
Imaginea spiralei lui Fermat prin inversiunea față de cercul unitate este o spirală lituus, cu ecuația polară
Când , cele două curbe se intersectează într-un punct fix al cercului unitate. Tangenta (axa ) în punctul de inflexiune, adică în originea spiralei lui Fermat, este transformată în ea însăși și constituie asimptota spiralei lituus.
Secțiunea de aur și unghiul de aur În filotaxia discală, ca în cazul florii-soarelui și al margaretei, numerele spiralelor din rețea sunt numere Fibonacci, deoarece divergența — unghiul de succesiune într-o dispunere spiralată unică — se apropie de raportul de aur. Forma spiralelor depinde de creșterea elementelor generate succesiv. În filotaxia unui disc matur, când toate elementele au aceeași dimensiune, spiralele au, în cazul ideal, forma spiralelor lui Fermat. Acest lucru se datorează faptului că spirala lui Fermat străbate coroane circulare de arii egale în rotații egale. Modelul complet propus de H. Vogel în 1979 este
unde este unghiul, este raza sau distanța față de centru, este numărul de ordine al floretei, iar este un factor de scară constant. Unghiul de 137,508° este unghiul de aur, care este aproximat prin rapoarte ale numerelor Fibonacci.
Configurația spiralată rezultată a discurilor unitate trebuie deosebită de spiralele Doyle, configurații formate din discuri tangente cu raze aflate în progresie geometrică și dispuse pe spirale logaritmice.
Centrale solare S-a constatat, de asemenea, că spirala lui Fermat oferă o dispunere eficientă a oglinzilor centralelor de energie solară concentrată.
Note
Lectură suplimentară
Legături externe
Explorare interactivă folosind JSXGraph (JavaScript) „Spiralele naturale ale lui Fermat”, pe ScienceNews.org
Categorie:Spirale Categorie:Curbe