În spațiul tridimensional un poliedru platonic sau corp al lui Platon este un poliedru regulat, convex. Este construit din fețe congruente (identice ca formă și dimensiune), regulate (cu toate unghiurile și laturile egale), având același număr de fețe care se întâlnesc la fiecare vârf. Cinci poliedre îndeplinesc aceste criterii: Tetraedru Cub Octaedru Dodecaedru IcosaedruPatru fețeȘase fețeOpt fețeDouăsprezece fețeDouăzeci de fețe 80px (Animație) (Model 3D)80px (Animație) (Model 3D)80px (Animație) (Model 3D)80px (Animație) (Model 3D)80px (Animație) (Model 3D)
Geometrii au studiat poliedrele platonice de mii de ani. Martin Gardner a scris o descriere de popularizare a celor cinci poliedre în decembrie 1958 în Scientific American reluată în „Cartea a doua” din Amuzamente matematice.Martin Gardner Amuzamente matematice, București: Ed. Științifică, 1968, pp. 167–175, traducere a First and Second Scientific American Books of Mathematical Puzzles and Diversions, New York: Simon and Schuster, Inc., 1961 Acestea sunt numite după filosoful grec antic Platon care a formulat ipoteze într-unul din dialogurile sale, Timaios, că elementele clasice sunt făcute din aceste poliedre regulate.
Istoric
thumb|Modelul Sistemului solar din Mysterium Cosmographicum de Kepler, pe baza poliedrelor platonice Poliedrele platonice sunt cunoscute încă din antichitate. S-a sugerat că anumite bile de piatră sculptate create de oamenii neoliticului târziu din Scoția reprezintă aceste forme, însă aceste bile sunt mai degrabă rotunde decât poliedrice, numărul de colțuri (ieșituri) diferă frecvent de numărul de vârfuri ale poliedrelor platonice, nu există nici o bilă ale cărei colțuri să se potrivească cu cele 20 de vârfuri ale dodecaedrului, iar dispunerea colțurilor nu a fost mereu simetrică.
Grecii antici au studiat poliedrele platonice pe larg. Unele surse (cum ar fi Proclus) atribuie lui Pitagora descoperirea lor. Alte dovezi sugerează că este posibil ca Pitagora să fi fost familiarizat doar cu tetraedrul, cubul și dodecaedrul și că descoperirea octaedrului și a icosaedrului a fost făcută de Theaetetus, un contemporan al lui Platon. În orice caz, Theaetetus a dat o descriere matematică a tuturor celor cinci și poate că a arătat că nu există alte poliedre regulate convexe.
Poliedrele platonice sunt larg dezbătute în filosofia lui Platon, eponimul lor. Platon a scris despre ele în dialogul Timaios c. 360 î.Hr. în care a asociat fiecare dintre cele patru elemente clasice (pământ, aer, apă și foc) cu un poliedru regulat. Pământul a fost asociat cu cubul, aerul cu octaedrul, apa cu icosaedrul și focul cu tetraedrul. Exista o justificare intuitivă pentru aceste asociații: căldura focului se simte ascuțită și înțepătoare (ca niște tetraedre mici). Aerul este format din octaedru; componentele sale minuscule sunt atât de netede încât abia se simte. Apa, icosaedrul, curge din mâna cuiva când este ridicată, ca și cum ar fi făcută din mici bile. Prin contrast, un poliedru foarte diferit de sferă, hexaedrul (cubul), reprezintă „pământul”. Aceste mici forme colțuroase (analogia pământului cu nisipul) se împrăștie atunci când sunt ridicate, spre deosebire de fluxul lin al apei. În plus, cubul este singurul poliedru regulat care umple spațiul euclidian, ca urmare se credea că provoacă soliditatea Pământului.
Despre cel de-al cincilea poliedru platonic, dodecaedrul, Platon a remarcat obscur „...zeul l-a folosit pentru a aranja constelațiile pe tot cerul”. Aristotel a adăugat un al cincilea element, eterul și a postulat că cerurile erau făcute din acest element, dar el nu avea vreun interes să-l potrivească cu al cincilea poliedru platonic. Wildberg discută despre corespondența din Timaios a poliedrelor platonice cu elementele, dar observă că această corespondență pare să fi fost uitată în Epinomis, pe care el îl numește „un mare pas spre teoria lui Aristotel” și subliniază că eterul lui Aristotel este mai presus de celelalte patru elemente, făcând corespondența mai puțin potrivită.Wildberg (1988)
Euclid a descris matematic poliedrele platonice în Elementele, a cărei ultimă carte (Cartea a XIII-a) este dedicată proprietăților lor. Paragrafele 13–17 din Cartea a XIII-a descriu construcția tetraedrului, a octaedrului, cubului, icosaedrului și a dodecaedrului, în această ordine. Pentru fiecare poliedru Euclid găsește raportul dintre diametrul sferei circumscrise și lungimea muchiei. În paragraful al 18-lea el susține că nu mai există poliedre regulate convexe. Andreas Speiser a susținut opinia că construcția celor 5 poliedre regulate este scopul principal al sistemului deductiv canonizat în Elementele. O mare parte din informațiile din Cartea a XIII-a provin probabil din opera lui Theaetetus.
În secolul al XVI-lea, astronomul german Johannes Kepler a încercat să lege cele cinci planete extraterestre cunoscute în vremea sa cu cele cinci poliedre platonice. În Mysterium Cosmographicum, publicat în 1596, Kepler a propus un model al sistemului solar în care cele cinci poliedre erau așezate unul în celălalt și separate printr-o serie de sfere înscrise și circumscrise. Kepler a afirmat că raporturile distanțelor dintre cele șase planete cunoscute în acel moment ar putea fi înțelese în termenii celor cinci poliedre platonice închise într-o sferă care reprezenta orbita lui Saturn. Cele șase sfere corespundeau fiecărei planete (Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter și Saturn). Poliedrele au fost ordonate, cel mai interior fiind octaedrul, urmat de icosaedru, dodecaedru, tetraedru și, în cele din urmă, cubul, dictând astfel structura sistemului solar și raporturile distanțelor dintre planete de către poliedrele platonice. În cele din urmă, ideea inițială a lui Kepler a trebuit abandonată, dar din cercetările sale au apărut cele trei legi ale mișcării pe orbite, dintre care prima a fost aceea că orbitele planetelor sunt elipse, nu cercuri, schimbând cursul fizicii și al astronomiei. De asemenea, el a descoperit Poliedrele Kepler.
Coordonate carteziene Pentru poliedrele platonice cu centrul în originea axelor, coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt date mai jos. Litera grecească φ este utilizată pentru a reprezenta secțiunea de auri ≈ 1,618034. + ParametriImagineTetraedru Octaedru Cub IcosaedruDodecaedruFețe4862012Vârfuri46 (2 × 3)812 (4 × 3)20 (8 + 4 × 3)Orientări 12 12 12Coodonatevârfuri (1, 1, 1)(1, −1, −1)(−1, 1, −1)(−1, −1, 1) (−1, −1, −1)(−1, 1, 1)(1, −1, 1)(1, 1, −1) (±1, 0, 0)(0, ±1, 0)(0, 0, ±1)(±1, ±1, ±1) (0, ±1, ±φ)(±1, ±φ, 0)(±φ, 0, ±1) (0, ±φ, ±1)(±φ, ±1, 0)(±1, 0, ±φ)(±1, ±1, ±1)(0, ±, ±φ)(±, ±φ, 0)(±φ, 0, ±)(±1, ±1, ±1)(0, ±φ, ±)(±φ, ±, 0)(±, 0, ±φ)Imagine120px120px130px130px Coordonatele pentru tetraedru, dodecaedru și icosaedru sunt date pentru două orientări, fiecare conținând + sau − din semn și permutarea poziției coordonatelor.
Aceste coordonate dezvăluie anumite relații între poliedrele platonice: vârfurile tetraedrului reprezintă jumătate din cele ale cubului, ca {4,3} sau , unul din cele două seturi de 4 vârfuri în poziții duale, ca h{4,3} sau . Ambele poziții tetraedrice fac compusul octaedru stelat.
Coordonatele icosaedrului sunt legate de două seturi alternate de coordonate ale unui octaedru trunchiat neuniform, t{3,4} sau , numit și icosaedru snub, ca s{3,4} sau și văzut drept compus de două icosaedre.
Opt dintre vârfurile dodecaedrului sunt comune cu ale cubului. Completarea tuturor orientărilor duce la compus de cinci cuburi.
Proprietăți combinatorice Un poliedru convex este un poliedru platonic dacă și numai dacă toate fețele sale sunt poligoane regulate convexe congruente, niciuna dintre fețe nu se intersectează cu alta cu excepția muchilor și într-un vârf se întâlnesc același număr de fețe.
Fiecare poliedru platonic poate fi notat cu un simbol {p, q}, unde p este numărul de muchii (sau, echivalent, vârfuri) ale fiecărei fețe, iar q este numărul fețelor (sau, echivalent, muchiilor) care se întâlnesc în fiecare vârf.
Simbolul {p, q}, numit simbol Schläfli, dă o descriere combinatorică a poliedrului. Simbolurile Schläfli ale celor cinci poliedre platonice sunt prezentate în tabelul următor. PoliedruVârfuriMuchiiFețeSimbol SchläfliConfigurația vârfului tetraedru 50px|Tetraedru 4 6 4 {3, 3} 3.3.3 cub 50px|Hexaedru (cub) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4 octaedru 50px|Octaedru 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3 Dodecaedru 50px|Dodecaedru 20 30 12 {5, 3} 5.5.5 Icosaedru 50px|Icosaedru 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3
Toate celelalte informații combinatorice despre aceste poliedre, cum ar fi numărul total de vârfuri (V), laturi (muchii) (M) și fețe (F), pot fi determinate din p și q. Deoarece orice muchie unește două vârfuri și are două fețe adiacente trebuie să existe:
Cealaltă relație dintre aceste valori este dată de formula lui Euler: .
Acest lucru poate fi demonstrat în mai multe feluri. Împreună, aceste trei relații determină complet V, M și F:
Interschimbarea p și q schimbă F și V în timp ce lasă M neschimbat. Pentru o interpretare geometrică a acestei proprietăți v. § Poliedre duale mai jos.
Configurație Elementele unui poliedru pot fi plasate într-o matrice a configurației. Liniile și coloanele corespund vârfurilor, muchiilor și fețelor. Termenii de pe diagonala principală spun câte din fiecare element apar în întregul poliedru. Celelalte numere spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul liniei. Perechile duale de poliedre au matricele configurației rotite la 180° una față de cealaltă.Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations {p,q}Configurații platoniceordinul:g = 8pq/(4-(p-2)(q-2))g=24g=48g=120 v mfv g/2q q qm 2 g/4 2f p p g/2p+ {3,3}433262334+ {3,4}6 4421223 38+ {4,3}8 3321224 46+ {3,5}12 5 5 230 2 3 320+ {5,3}20 3 3 230 2 5 512
Clasificare Rezultatul clasic este că există doar cinci poliedre regulate convexe. Două demonstrații simple de mai jos demonstrează că nu pot exista mai mult de cinci poliedre platonice, dar demonstrarea existenței unui anumit poliedru este o altă chestiune.
Demonstrația geometrică + Desfășurata în jurul unui vârf80px{3,3}Deficit 180°80px{3,4}Deficit 120°80px{3,5}Deficit 60°80px{3,6}Deficit 0°80px{4,3}Deficit 90°80px{4,4}Deficit 0°80px{5,3}Deficit 36°80px{6,3}Deficit 0°Un vârf are nevoie de cel puțin 3 fețe și un deficit unghiular.Un deficit unghiular de 0° va umple planul euclidian cu o pavare regulată.Prin Teorema lui Descartes, numărul de vârfuri este de 720°/deficit. Următoarea demonstrație geometrică este similară cu cea dată de Euclid în Elementele: Fiecare vârf al poliedrului trebuie să fie un vârf pentru cel puțin trei fețe. În fiecare vârf al poliedrului, la fețele adiacente totalul unghiurilor dintre laturile lor adiacente trebuie să fie mai mic de 360°. Suma mai mică de 360° denotă existența deficitului unghiular. La toate vârfurile unghiurile tuturor fețelor unui poliedru platonic sunt identice: fiecare vârf al fiecărei fețe trebuie să contribuie cu mai puțin de = 120°. Poligoanele regulate cu șase sau mai multe laturi au doar unghiuri de 120° sau mai mult, deci poliedrul se poate forma doar din fețe triunghiulare, pătrate sau pentagonale. Pentru fiecare din aceste forme există următoarele: Fețele triunghiulare: Fiecare vârf al unui triunghi echilateral are 60°, deci o formă poate avea 3, 4 sau 5 triunghiuri care se întâlnesc la un vârf; acestea sunt tetraedrul, octaedrul și respectiv icosaedrul regulat. Fețele pătrate: Fiecare vârf al unui pătrat are 90°, deci singura posibilitate este ca într-un vârf să se întâlnească trei fețe, care formează cubul. Fețele pentagonale: Fiecare vârf al unui pentagon regulat are 108°, deci singura posibilitate este ca într-un vârf să se întâlnească trei fețe, care formează dodecaedrul regulat.
În total, se pot forma doar 5 poliedre platonice.
Demonstrația topologică