În geometrie, un poliedru arhimedic este unul dintre cele 13 poliedre enumerate pentru prima dată de Arhimede. Sunt poliedre uniforme convexe formate din poligoane regulate care se întâlnesc în vârfuri identice, cu excepția celor cinci poliedre platonice (care sunt compuse dintr-un singur tip de poligon) și a prismelor și antiprismelor. Ele diferă de poliedrele Johnson, ale căror fețe poligonale regulate nu se întâlnesc în vârfuri identice.
„Vârfuri identice” înseamnă că fiecare două vârfuri sunt simetrice între ele: o izometrie globală a întregului poliedru aplicată la două vârfuri conservă aspectul poliedrului din poziția inițială. Branko Grünbaum a observat că al 14-lea poliedru, girobicupola pătrată alungită (sau pseudorombicuboctaedrul), satisface mai slab definiția unui poliedru arhimedic, „vârfuri identice” însemnând doar că fețele care înconjoară fiecare vârf sunt de același tip (adică fiecare vârf arată la fel de aproape), deci este necesară doar o izometrie locală. Grünbaum a subliniat o eroare frecventă pe care o fac autorii care definesc poliedrele arhimedice folosind această definiție locală, dar omit poliedrul 14. Dacă trebuie enumerate doar 13 poliedre, definiția trebuie să se bazeze pe simetriile globale ale poliedrului în loc să se bazeze pe vecinătățile locale.
Prismele și antiprismele, ale căror grup de simetrie sunt grupul diedral, nu sunt în general considerate a fi poliedre arhimedice, chiar dacă fețele lor sunt poligoane regulate și grupurile lor de simetrie acționează tranzitiv pe vârfurile lor. Excluzând aceste două familii infinite, există 13 poliedre arhimedice. Toate poliedrele arhimedice (dar nu și girobicupola pătrată alungită) pot fi realizate prin construcții Wythoff din poliedrele platonice cu simetrie tetraedrică, octaedrică și icosaedrică.
Originea numelui Poliedrele arhimedice sunt numite după Arhimede, care le-a discutat într-o lucrare acum pierdută. Pappus din Alexandria, referindu-se la această lucrare, afirmă că Arhimede a enumerat 13 poliedre. În timpul Renașterii, artiștii și matematicienii au apreciat formele pure cu simetrie ridicată, iar în jurul anului 1620 Johannes Kepler a finalizat redescoperirea celor 13 poliedre, Field J., Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler, Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, 227 precum și definirea prismelor, antiprismelor și a poliedrelor neconvexe cunoscute sub numele de poliedrele Kepler–Poinsot. (V. pentru mai multe informații despre redescoperirea poliedrelor arhimedice în timpul Renașterii.)
Kepler poate că a găsit și girobicupola pătrată alungită (pseudorombicuboctaedrul); cel puțin, el a declarat odată că există 14 poliedre arhimedice. Totuși, enumerarea sa publicată cuprinde doar cele 13 poliedre uniforme, iar prima afirmație clară a existenței pseudorombicuboctaedrului a fost făcută în 1905 de Duncan Sommerville.
Clasificare Există 13 poliedre arhimedice (fără a lua în considerare girobicupola pătrată alungită; 15 dacă imaginea în oglindă a două poliedre enantiomorfe, cubul și dodecaedrul snub, sunt numărate separat).
Aici configurația vârfului se referă la tipul de poligoane regulate care se întâlnesc la orice vârf dat. De exemplu, o configurație a vârfului (4,6,8) înseamnă că un pătrat, un hexagon și un octogon se întâlnesc într-un vârf (ordinea fiind în sensul acelor de ceasornic în jurul vârfului).
Nume(nume alternativ)SchläfliCoxeterGr. sim. Transparent Plin Desfășurată Vârfconfig.fig. Fețe VârfuriMuchii Volum(latura =unitatea) Sfericitate tetraedru trunchiatt{3,3}Td 70px|tetraedru trunchiat(Animație) 70px 60px 3.6.650px 8 4 triunghiuri4 hexagoane 1218 2,710576 0,7754132 cuboctaedru(rombitetratetraedru,girobicupolă triunghiulară)r{4,3} sau rr{3,3} sau Oh 70px|cuboctaedru (Animație) 70px 60px 3.4.3.450px 14 8 triunghiuri6 pătrate 1224 2,357023 0,9049972 cub trunchiatt{4,3}Oh 70px|hexaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 3.8.850px 14 8 triunghiuri6 octogoane 2436 13,599663 0,8494937 octaedru trunchiat(tetratetraedru trunchiat)t{3,4} sau tr{3,3} sau Oh 70px|octaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 4.6.650px 14 6 pătrate8 hexagoane 2436 11,313709 0,9099178 rombicuboctaedru(rombicuboctaedru mic,ortobicupolă pătrată alungită)rr{4,3}Oh 70px|rombicuboctahedru(Animație) 70px 60px 3.4.4.450px 268 triunghiuri18 pătrate 2448 8,714045 0,9540796 cuboctaedru trunchiat(rombicuboctaedru mare)tr{4,3}Oh 70px|cuboctaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 4.6.850px 26 12 pătrate8 hexagoane6 octogoane 4872 41,798990 0,9431657 cub snub(cuboctahedru snub)sr{4,3}O 70px|hexaedru snub (Ccw)(Animație) 70px 60px 3.3.3.3.450px 3832 triunghiuri6 pătrate 2460 7,889295 0,9651814 icosidodecaedru(girobirotondă pentagonală)r{5,3}Ih 70px|icosidodecaedru(Animație) 70px 60px 3.5.3.550px 32 20 triunghiuri12 pentagoane 3060 13,835526 0,9510243 dodecaedru trunchiatt{5,3}Ih 70px|dodecaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 3.10.1050px 3220 triunghiuri12 decagoane 6090 85,039665 0,9260125 icosaedru trunchiatt{3,5}Ih 70px|icosaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 5.6.650px 32 12 pentagoane20 hexagoane 6090 55,287731 0,9666219 rombicosidodecaedru(rombicosidodecaedru mic)rr{5,3}Ih 70px|rombicosidodecaedru(Animație) 70px 60px 3.4.5.450px 62 20 triunghiuri30 pătrate12 pentagoane 60120 41,615324 0,9792370 icosidodecaedru trunchiat(rombicosidodecaedru mare)tr{5,3}Ih 70px|icosidodecaedru trunchiat(Animație) 70px 60px 4.6.1050px 6230 pătrate20 hexagoane12 decagoane 120180 206,803399 0,9703127 dodecaedru snub(icosidodecaedru snub)sr{5,3}I 70px|dodecaedru snub (Cw)(Animație) 70px 60px 3.3.3.3.550px 92 80 triunghiuri12 pentagoane 60150 37,616650 0,9820114
Unele definiții ale poliedrului semiregulat includ încă o figură, girobicupola pătrată alungită sau pseudorombicuboctaedrul., p. 85
Proprietăți Numărul vârfurilor este de 720° împărțit la deficitul unghiular al vârfului.
Cuboctaedrul și icosidodecaedrul sunt uniforme după muchii și se numesc cvasiregulate.
Dualii poliedrelor arhimedice se sunt poliedrele Catalan. Împreună cu bipiramidele și trapezoedrele, acestea sunt poliedrele uniforme după fețe, cu vârfuri regulate.
Chiralitate Cubul snub și dodecaedrul snub sunt chirali, deoarece pot avea o formă levomorfă („pe stânga”) și una dextromorfă („pe dreapta”). Când ceva se prezintă în mai multe forme tridimensionale care una este imaginea în oglindă a celeilalte, aceste forme pot fi numite enantiomorfe. (Această nomenclatură este utilizată și pentru formele anumitor compuși chimici.)
Construcția poliedrelor arhimedice thumb|400px|Poliedrele arhimedice pot fi construite ca poliedre uniforme Diferitele poliedre arhimedice și platonice pot fi legate între ele folosind o metodă de construcție generală. Se începe cu un poliedru platonic și se taie colțurile prin trunchiere. Pentru a păstra simetria, tăietura trebuie să fie într-un plan perpendicular pe dreapta care unește un vârf cu centrul poliedrului și este la fel pentru toate colțurile. În funcție de cât este trunchiat (vezi tabelul de mai jos), se pot crea diferite poliedre platonice și arhimedice (și altele). Dacă trunchierea este exact atât de adâncă încât fiecare pereche de fețe de la vârfurile adiacente se ating într-un singur punct, operația numește rectificare. O expandare sau cantelare, implică îndepărtarea fiecărei fețe de centru (cu aceeași distanță astfel încât să se conserve simetria poliedrului platonic) și apoi trasarea anvelopei convexe. Expandarea cu răsucire implică și rotirea fețelor, divizând fiecare dreptunghi corespunzător unei fețe în două triunghiuri după una din diagonalele sale. Ultima construcție folosită aici este trunchierea atât a colțurilor, cât și a muchiilor. Ignorând scalarea, expandarea poate fi considerată și drept rectificarea rectificării. La fel, cantitrunchierea poate fi considerată drept trunchierea rectificării.
+ Construcția poliedrelor arhimediceSimetrietetraedrică120pxoctaedrică120pxicosaedrică120px Poliedrul de pornireOperațieSimbol{p,q} tetraedru{3,3}80px cub{4,3}80px octaedru{3,4}80px dodecaedru{5,3}80px icosaedru{3,5}80px trunchiere (t)t{p,q} tetraedru trunchiat80px cub trunchiat80px octaedru trunchiat80px dodecaedru trunchiat80px icosaedru trunchiat80px rectificare (r)Ambo (a)r{p,q} tetratetraedru(octaedru)80px cuboctaedru80px icosidodecaedru80px Bitrunchiere (2t)Dual kis (dk)2t{p,q} tetraedru trunchiat80px octaedru trunchiat80px cub trunchiat80px icosahedru trunchiat80px dodecaedru trunchiat80px Birectificare (2r)Dual (d)2r{p,q} tetraedru80px octaedru80px cub80px icosaedru80px dodecaedru80px Cantelare (rr)Expandare (e)rr{p,q} rombitetratetraedru(cuboctaedru)80px rombicuboctaedru80px rombicosidodecaedru 80px Snub rectificat (sr)Snub (s)sr{p,q} tetratetraedru snub(icosaedru)80px cuboctaedru snub80px icosidodecaedru snub80px Cantitrunchiere (tr)Bont (b)tr{p,q} tetratetraedru trunchiat(octaedru trunchiat)80px cuboctaedru trunchiat80px icosidodecaedru trunchiat80px
A se observa dualitatea dintre cub și octaedru și între dodecaedru și icosaedru. Pentru că tetraedrul este autodual, apare un singur poliedru arhimedic, care are cel mult simetrie tetraedrică. (Toate poliedrele platonice au cel puțin simetrie tetraedrică, deoarece simetria tetraedrică este inclusă în simetriile octaedrică și icosaedrică, lucru demonstrat de faptul că un octaedru poate fi considerat ca fiind tetraedru rectificat, iar un icosaedru poate fi considerat ca fiind un tetraedru snub.)
Note
Bibliografie . Reprinted in
Chapter 2 Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3–9)
Legături externe
Archimedean Solids by Eric W. Weisstein Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids Free paper models(nets) of Archimedean solids The Uniform Polyhedra by Dr. R. Mäder Archimedean Solids at Visual Polyhedra by David I. McCooey Virtual Reality Polyhedra, The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart Penultimate Modular Origami by James S. Plank Solid Body Viewer is an interactive 3D polyhedron viewer which allows you to save the model in svg, stl or obj format. Stella: Polyhedron Navigator: Software used to create many of the images on this page. Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra