300px|miniatura|Reprezentare figurativă (geometrică) a numărului pătrat piramidal 30 = 1 + 4 + 9 + 16 Un număr pătratic piramidal, pătrat perfect piramidal sau număr pătrat piramidal este un număr figurativ care reprezintă numărul de sfere stivuite într-o piramidă cu o bază pătrată. Numerele pătrat piramidale rezolvă, de asemenea, problema numărului de pătrate dintr-o grilă n × n. Numerele piramidale (cu n laturi triunghiulare) sunt adesea confundate cu numerele pătrat piramidale (cu 4 laturi).
Exemple Primele numere pătrate piramidale sunt: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819...
Aceste numere pot fi exprimate prin formula:
Acesta este un caz special al formulei lui Faulhaber și poate fi dovedit printr-o inducție matematică.Hopcroft, Motwani & Ullman (2007), [ p. 20] O formulă echivalentă este dată în manuscrisul lui Leonardo Fibonacci, Liber Abaci (1202, ch. II.12).
În matematica modernă, numerele figurate sunt formalizate prin polinoame Ehrhart: ..
Funcție generatoare exponențială Funcția generatoare pentru numerele piramidale este:
Relația cu alte numere Numerele piramidale pătrate pot fi, de asemenea, exprimate ca suma coeficienților binomiali:
Coeficienții binomiali care apar în această expresie prezentată sunt numere tetraedrice. Această formulă exprimă numerele piramidale ca suma a două numere, la fel ca orice număr pătratic este suma a două numere triunghiulare consecutive. În această sumă, unul dintre cele două numere tetraedrice reprezintă numărul de sfere din piramida pliată care sunt situate deasupra sau pe o parte a diagonalei bazei pătrate a piramidei; iar al doilea - reprezintă numărul de sfere situate pe cealaltă parte a diagonalei. Numerele piramidale sunt, de asemenea, legate de numerele tetraedrice după cum urmează::
Suma a două numere piramidale consecutive este un număr octaedric.
Note
Vezi și Listă de numere Număr figurativ Număr hexagonal
Categorie:Teoria numerelor Categorie:Numere figurative