În geometrie, un poliedru Johnson este un poliedru strict convex ale cărui fețe sunt poligoane regulate. Nu există condiția ca toate fețele să fie același poligon sau că aceleași poligoane să se întâlnească în jurul fiecărui vârf. Un exemplu de poliedru Johnson este piramida pătrată echilaterală, J1, care are o față pătrată și 4 fețe triunghiulare. Unii autori cer ca poliedrul să nu fie uniform, adică să nu fie poliedru platonic, poliedru arhimedic, prismă uniformă sau antiprismă uniformă, pe care nu le consideră „poliedre Johnson”.
Ca la orice poliedru strict convex, cel puțin trei fețe se întâlnesc în fiecare vârf, iar suma unghiurilor lor din dreptul unui vârf este mai mică de 360°. Deoarece un poligon regulat are unghiuri de cel puțin 60 de grade, rezultă că cel mult cinci fețe se întâlnesc în orice vârf. Piramida pentagonală (J2) este un exemplu care are un vârf de gradul 5.
Deși nu există nicio restricție evidentă că un anumit poligon regulat nu ar putea fi o față a unui poliedru Johnson, se pare că fețele poliedrelor Johnson care nu sunt uniforme (adică nu sunt un poliedru platonic, arhimedic, prismă sau antiprismă uniforme) au întotdeauna 3, 4, 5, 6, 8 sau 10 laturi.
În 1966, Norman Johnson a publicat o listă care include toate cele 92 de poliedre Johnson (excluzând cele 5 poliedre platonice, cele 13 poliedre arhimedice și infinit de multele prisme și antiprisme uniforme) și le-a dat numele și numerele lor. El nu a demonstrat că există doar 92, dar a conjecturat că nu există altele. În 1967 Victor Zalgaller a demonstrat că lista lui Johnson era completă. Prima demonstrație că există doar 92 de poliedre Johnson. Traduce în engleză:
Dintre poliedrele Johnson, girobicupola pătrată alungită (J 37 ), numită și pseudorombicuboctaedru, este unică prin faptul că este uniformă local la nivel de vârf: în fiecare vârf se întâlnesc 4 fețe, iar dispunerea lor este întotdeauna aceeași: 3 pătrate și 1 triunghi. Totuși, ea nu este tranzitivă pe vârfuri, deoarece are izometrie diferită în vârfuri diferite, făcându-l mai degrabă un poliedru Johnson decât un poliedru arhimedic.
Denumiri Denumirile poliedrelor Johnson se formează pe baza unei formule descriptive flexibile și precise, astfel încât multe poliedre pot fi denumite în moduri diferite fără a compromite acuratețea lor ca descriere. Majoritatea poliedrelor Johnson pot fi construite din primele câteva piramide, cupole și rotonde, împreună cu poliedrele platonice și arhimedice, prisme și antiprisme. În limba română începutul numelui unui anumit poliedru va conține aceste noțiuni. De acolo, o serie de prefixe și sufixe sunt atașate cuvântului pentru a indica adăugiri, rotații și transformări: Bi- indică că două copii ale poliedrului respectiv sunt lipite bază la bază. Pentru cupole și rotonde, cele două poliedre pot fi lipite astfel încât fețele lor să corespundă (orto-), sau nu (giro- = rotite). Folosind această nomenclatură, un octaedru poate fi descris ca o bipiramidă pătrată, un cuboctaedru ca o girobicupolă triunghiulară iar un icosidodecaedru ca o girobirotondă pentagonală. Alungită indică că o prismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un rombicuboctaedru poate fi astfel descris ca o ortobicupolă pătrată alungită. Giroalungită indică că o antiprismă este lipită la baza poliedrului respectiv sau între baze în cazul bi-poliedrelor. Un icosaedru poate fi astfel descris ca o bipiramidă pentagonală giroalungită. Augmentată indică că un alt poliedru, și anume o piramidă sau cupolă, este lipită la una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv. Diminuată indică eliminarea unei piramide sau cupole de pe una sau mai multe fețe ale poliedrului respectiv. Girată indică că o cupolă montată pe sau existentă în poliedrul respectiv este rotită astfel încât diferite margini să se potrivească, ca în diferența dintre orto și girobicupole.
Ultimele trei operații — augmentare, diminuare și girare — pot fi efectuate de mai multe ori la anumite poliedre mari. Bi- și Tri- indică o operație dublă, respectiv triplă. De exemplu, un poliedru bigirat are două cupole rotite, iar un poliedru tridiminuat are trei piramide sau cupole îndepărtate.
La anumite poliedre mari se face distincția între poliedrele la care fețele modificate sunt paralele și poliedrele în care fețele modificate sunt oblice. Para- indică primul caz, că poliedrul respectiv are fețele paralele modificate, iar Meta- indică al doilea caz, că poliedrul respectiv are fețele oblice modificate. De exemplu, un poliedru parabiaugmentat a avut două fețe paralele augmentate, iar un poliedru metabigirat a avut două fețe oblice rotite.
Ultimele câteva poliedre Johnson au nume bazate pe anumite complexe poligonale din care sunt asamblate. Aceste nume sunt definite de Johnson în modul următor: O lună este un complex de două triunghiuri atașate la laturile opuse ale unui pătrat. Sfeno- indică un complex format din două lune adiacente în lung la nivelul triunghurilor. Bisfeno- indică două astfel de complexe. Hebesfeno- indică un complex de trei lune alăturate. Coroană este un complex asemănător unei coroane, din opt triunghiuri. Megacoroană este un complex mai mare asemănător unei coroane, din 12 triunghiuri. Sufixul -cingulum indică o centură de 12 triunghiuri.
Enumerare
Piramide, cupole și rotonde Primele 6 poliedre Johnson sunt piramide, cupole sau rotonde cu cel mult 5 fețe laterale. Piramidele și cupolele cu 6 sau mai multe fețe laterale sunt coplanare și, prin urmare, nu sunt poliedre Johnson.
Piramide Primele două poliedre Johnson, J1 și J2, sunt piramide. Piramida triunghiulară este tetraedrul regulat, deci nu este un poliedru Johnson. J1 și J2 reprezintă părți ale poliedrelor regulate. RegulatJ1J2 Piramidă triunghiulară(Tetraedru) Piramidă pătrată Piramidă pentagonală 120px 120px 120px 120px 120px 120pxPoliedre regulate conexeTetraedruOctaedruIcosaedru 80px 80px 80px
Cupole și rotonde Următoarele patru poliedre Johnson sunt trei cupole și o rotondă. Ele sunt părți ale poliedrelor uniforme. CupolăRotondăUniformeJ3J4J5J6 Fastigium(Cupolă digonală)(Prismă triunghiulară) Cupolă triunghiulară Cupolă pătrată Cupolă pentagonală Rotondă pentagonală 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxPoliedre uniforme conexeCuboctaedruRombicuboctaedruRombicosidodecaedruIcosidodecaedru 80px 80px 80px 80px
Piramide modificate Poliedrele Johnson 7–17 sunt derivate din piramide.
Piramide alungite și giroalungite În piramida triunghiulară giroalungită, trei perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează câte un romb nepătrat, deci nu este un poliedru Johnson. Piramide alungitePiramide giroalungiteJ7J8J9CoplanarJ10J11 Piramidă triunghiulară alungită Piramidă pătrată alungită Piramidă pentagonală alungită Piramidă triunghiulară giroalungită(trapezoedru trigonal diminuat) Piramidă pătrată giroalungită Piramidă pentagonală giroalungită 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedreletetraedruprismă triunghiularăpiramidă pătratăcubpiramidă pentagonalăprismă pentagonalătetraedruoctaedrupiramidă pătratăantiprismă pătratăpiramidă pentagonalăantiprismă pentagonală40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px
Bipiramide Bipiramida pătrată este octaedrul regulat, în timp ce bipiramida pentagonală giroalungită este icosaedrul regulat, deci nu sunt solide Johnson. În bipiramida triunghiulară giroalungită șase perechi de triunghiuri adiacente sunt coplanare și formează romburi nepătrate, deci, de asemenea, nu este un solid Johnson. BipiramideBipiramide alungiteBipiramide giroalungiteJ12RegulatJ13J14J15J16CoplanarJ17Regulat Bipiramidă triunghiulară Bipiramidă pătrată (octaedru) Bipiramidă pentagonală Bipiramidă triunghiulară alungită Bipiramidă pătrată alungită Bipiramidă pentagonală alungită Bipiramidă triunghiulară giroalungită(trapezoedru trigonal) Bipiramidă pătrată giroalungită Bipiramidă pentagonală giroalungită(icosaedru) 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedreletetraedrupiramidă pătratăpiramidă pentagonalătetraedruprismă triunghiularăpiramidă pătratăcubpiramidă pentagonalăprismă pentagonalătetraedruoctaedrupiramidă pătratăantiprismă pătratăpiramidă pentagonalăantiprismă pentagonală40px40px40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px
Cupole și rotonde modificate Poliedrele Johnson 18–48 derivă din cupole și rotonde.
Cupole și rotonde alungite și giroalungite Cupole alungiteRotondă alungităCupole giroalungiteRotondă giroalungităCoplanarJ18J19J20J21ConcavJ22J23J24J25 Fastigium alungit Cupolă triunghiulară alungită Cupolă pătrată alungită Cupolă pentagonală alungită Rotondă pentagonală alungită Fastigium giroalungit Cupolă triunghiulară giroalungită Cupolă pătrată giroalungită Cupolă pentagonală giroalungită Rotondă pentagonală giroalungită 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedrelePrismă pătratăPrismă triunghiularăPrismă hexagonalăCupolă triunghiularăPrismă octogonalăCupolă pătratăPrismă decagonalăCupolă pentagonalăPrismă decagonalăRotondă pentagonalăAntiprismă pătratăPrismă triunghiularăAntiprismă hexagonalăCupolă triunghiularăAntiprismă octogonalăCupolă pătratăAntiprismă decagonalăCupolă pentagonalăAntiprismă decagonalăRotondă pentagonală40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px
Bicupole Girobicupola triunghiulară este un poliedru arhimedic (în acest caz cuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson. OrtobicupoleGirobicupoleCoplanarJ27J28J30J26SemiregulatJ29J31 Ortobifastigium Ortobicupolă triunghiulară Ortobicupolă pătrată Ortobicupolă pentagonală Girobifastigium Girobicupolă triunghiulară(cuboctaedru) Girobicupolă pătrată Girobicupolă pentagonală 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedrelePrismă triunghiularăCupolă triunghiularăCupolă pătratăCupolă pentagonalăPrismă triunghiularăCupolă triunghiularăCupolă pătratăCupolă pentagonală 40px 40px 40px 40px 40px 40px 40px 40px
Cupole-rotonde și birotonde Girobirotonda pentagonală este un poliedru arhimedic (în acest caz icosidodecaedrul), deci nu este un poliedru Johnson. Cupole-rotondeBirotondeJ32J33J34Semiregulat Ortocupolărotondă pentagonală Girocupolărotondă pentagonală Ortobirotondă pentagonală Girobirotondă pentagonală (icosidodecaedru) 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedreleCupolă pentagonalăRotondă pentagonalăRotondă pentagonală40px 40px40px
Bicupole alungite Ortobicupola pătrată alungită este un poliedru arhimedic (în acest caz rombicuboctaedrul), deci nu este un poliedru Johnson. Ortobicupole alungiteGirobicupole alungiteCoplanarJ35SemiregulatJ38CoplanarJ36J37J39 Ortobifastigium Ortobicupolă triunghiulară alungită Ortobicupola pătrată alungită(rombicuboctaedru) Ortobicupolă pentagonală alungită Girobifastigium alungit Girobicupolă triunghiulară alungită Girobicupolă pătrată alungită Girobicupolă pentagonală alungită 60px 80px 80px 80px 60px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedrelePrismă pătratăPrismă triunghiularăPrismă hexagonalăCupolă triunghiularăPrismă octogonalăCupolă pătratăPrismă decagonalăCupolă pentagonalăPrismă pătratăPrismă triunghiularăPrismă hexagonalăCupolă triunghiularăPrismă octogonalăCupolă pătratăPrismă decagonalăCupolă pentagonală40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px40px 40px
Cupole-rotonde și birotonde alungite Cupole-rotonde alungiteBirotonde alungiteJ40J41J42J43 Ortocupolărotondă pentagonală alungită Girocupolărotondă pentagonală alungită Ortobirotondă pentagonală alungită Girobirotondă pentagonală alungită 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80px 80pxAugmentate de la poliedrelePrismă decagonalăCupolă pentagonalăRotondă pentagonalăPrismă decagonalăRotondă pentagonală40px 40px 40px40px 40px