thumb|Un set de zaruri izoedrice În geometrie, un politop tridimensional (un poliedru) sau mai mare este izoedru sau tranzitiv pe fețe atunci când fețele sunt aceleași. Mai precis, toate fețele nu trebuie să fie doar congruente, ci trebuie să fie tranzitive, adică trebuie să se afle în aceeași orbită de simetrie. Cu alte cuvinte, pentru orice fețe A și B, trebuie să existe o simetrie a întregului poliedru prin rotații și reflexii care aplică A pe B. Din acest motiv, poliedrele izoedrice convexe sunt formele potrivite pentru zaruri corecte. .

Poliedrele izoedrice se numesc izoedre. Ele pot fi descrise prin configurația feței. O formă care este izoedrică și are vârfuri regulate este, de asemenea, tranzitivă pe muchii (izotoxală) și se spune că este un poliedru cvasiregulat dual: unii teoreticieni consideră aceste figuri ca fiind cu adevărat cvasiregulate, deoarece au aceleași simetrii, dar acest lucru nu este acceptat în general. Un izoedru are un număr par de fețe. Grünbaum (1960)

Un poliedru care este izoedric are un poliedru dual care este tranzitiv pe vârfuri (izogonal). Poliedrele Catalan, bipiramidele și trapezoedrele sunt toate izoedrice. Acestea sunt duale ale poliedrelor izogonale: arhimedice, prisme și antiprisme. Poliedrele platonice, care sunt fie autoduale, fie dual al altui poliedru platonic, sunt tranzitive pe vârfuri, muchii și fețe (sunt izogonale, izotoxale și izoedrice). Se spune că un poliedru izoedric și izogonal este un poliedru nobil.

Nu toate izozonoedrele sunt izoedrice. De exemplu un icosaedru rombic este un izozonoedru, dar nu un izoedru.

Exemple ConvexConcav150pxBipiramida hexagonală, V4.4.6, nu este un poliedru regulat, dar este izoedrică.205pxPavarea pentagonală Cairo, V3.3.4.3.4, este izoedrică.205pxFagurele dodecaedric rombic este un fagure izoedric (și izotopic).205pxPavarea topologic pătrată deformată în forme spirale H.

Clasele izoedrelor după simetrie FețeConfig.fețeiClasăNumeSimetrieOrdinConvexCoplanarNeconvex4V33platonictetraedru,bisfenoid tetragonal,bisfenoid rombicTd, [3,3], (*332)D2d, [2+,2], (2*)D2, [2,2]+, (222)24 44460px|tetraedru60px60px 6V34platoniccub,trapezoedru trigonal,trapezoedru trigonal asimetricOh, [4,3], (*432)D3d, [2+,6](2*3)D3[2,3]+, (223)481212660px|cub30px60px 8V43platonicoctaedru,bipiramidă pătrată,bipiramidă rombică,scalenoedru pătratOh, [4,3], (*432)D4h,[2,4],(*224)D2h,[2,2],(*222)D2d,[2+,4],(2*2)48168860px|Octaedru60px60px60px60px60px 60px12V35platonicdodecaedru regulat,piritoedru,tetartoidIh, [5,3], (*532)Th, [3+,4], (3*2)T, [3,3]+, (*332)120241260px|dodecaedru60px60px60px60px60px60px20V53platonicicosaedru regulatIh, [5,3], (*532)12060px|Icosaedru 12V3.62 Catalan tetraedru triakisTd, [3,3], (*332)24 60px|tetraedru triakis60px60px60px 12V(3.4)2 Catalan dodecaedru rombic,dodecaedru romboidalOh, [4,3], (*432)Td, [3,3], (*332)4824 60px|dodecaedru rombic60px60px60px60px60px 24V3.82 Catalan octaedru triakisOh, [4,3], (*432)48 60px|octaedru triakis 60px60px 24V4.62 Catalan hexaedru tetrakisOh, [4,3], (*432)48 60px|hexaedru tetrakis60px60px60px60px60px 24V3.43 Catalan icositetraedru romboidalOh, [4,3], (*432)48 60px|icositetraedru romboidal60px60px60px60px60px 48V4.6.8 Catalan dodecaedru disdiakisOh, [4,3], (*432)48 60px|dodecaedru disdiakis60px60px60px60px60px 24V34.4 Catalan icositetraedru pentagonalO, [4,3]+, (432)24 60px|icositetraedru pentagonal 30V(3.5)2 Catalan triacontaedru rombicIh, [5,3], (*532)120 60px|triacontaedru rombic 60V3.102 Catalan icosaedru triakisIh, [5,3], (*532)120 60px|icosaedru triakis 60px60px60px60px 60V5.62 Catalan dodecaedru pentakisIh, [5,3], (*532)120 60px|dodecaedru pentakis 60px60px60px60px60px 60V3.4.5.4 Catalan hexacontaedru romboidalIh, [5,3], (*532)120 60px|hexacontaedru romboidal120px60px 120V4.6.10 Catalan triacontaedru disdiakisIh, [5,3], (*532)120 60px| triacontaedru disdiakis60px60px60px60px60px60px 60V34.5 Catalan hexacontaedru pentagonalI, [5,3]+, (532)60 60px|hexacontaedru pentagonal 2nV33.nPolartrapezoedru,trapezoedru asimetricDnd, [2+,2n], (2*n)Dn, [2,n]+, (22n)4n2n30px60px60px60px60px60px 2n4nV42.nV42.2nV42.2nPolarn-bipiramidă regulată,2n-bipiramidă izotoxală,2n-scalenoedruDnh, [2,n], (*22n)Dnh, [2,n], (*22n)Dnd, [2+,2n], (2*n)4n60px60px60px60px 60px60px60px60px60px60px60px

Figuri k-izoedrice Un poliedru (sau politop în general) este un k- izoedru dacă conține k fețe în domeniul său fundamental de simetrie.

Similar, o k-pavare izoedrică are k orbite de simetrie separate (și poate conține m fețe de diferite forme pentru unele m < k ). Craig S. Kaplan. "Introductory Tiling Theory for Computer Graphics". 2009. Chapter 5 "Isohedral Tilings". p. 35.

Un poliedru monoedric sau pavare monoedrică (m = 1) are fețe congruente, direct sau reflexiv, care apar în una sau mai multe poziții de simetrie. Un poliedru sau pavare r-edrice are r tipuri de fețe (numite și diedrice pentru 2, respectiv triedrice pentru 3). Tilings and Patterns, p.20, 23

Iată câteva exemple de poliedre și pavări k-izoedrice, cu fețele lor colorate în funcție de pozițiile lor de k-simetrie: 3-izoedric4-izoedricIzoedric2-izoedricPoliedre (2-edrice) cu fețe regulatePoliedre monoedrice160px160px160px160pxRombicuboctaedrulare 1 tip de triunghiuriși 2 tipuri de pătratePseudorombicuboctaedrulare 1 tip de triunghiuriși 3 tipuri de pătrateIcositetraedrul romboidalare 1 tip de față Icositetraedrul pseudoromboidalare 2 tipuri de fețecu forme identice 3-izoedric4-izoedricIzoedric2-izoedricPavare regulată pe fețe (2-edrică)Pavări monoedrice160px160px160pxright|160pxPavare pitagoreicăcu 2 dimensiuni de pătrate Pavare 3-uniformăcu 3 tipuri de triunghiuriși 1 pătratModel schelet de peștecu 1 tip de dale (fețe)dreptunghiularePavare pentagonalăcu 3 tipuri de dale (fețe)neregulate pentagonale

Termeni asociați O figură tranzitivă pe fațete sau izotopică este un politop sau fagure n-dimensionali cu fațete ((n−1)-fețe) congruente și tranzitive. Politopul dual al unui izotop este un politop izogonal. Prin definiție, această proprietate izotopică este comună dualelor politopurilor uniforme. O figură izotopică 1-dimensională este izogonală (tranzitivă pe vârfuri). O figură izotopică 2-dimensională este izotoxală (tranzitivă pe muchii). O figură izotopică 3-dimensională este izoedrică (tranzitivă pe fețe). O figură izotopică n-dimensională (n > 3) este izotopică (tranzitivă pe (n−1)-fețe). Pentru n = 4, izotopică înseamnă tranzitivă pe celule.

Note

Bibliografie Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, , p. 367 Transitivity

Legături externe

isohedra 25 de clase de izoedre cu un număr finit de muchii Dice Design at The Dice Lab

Izoedric Categorie:4-politopuri