300px|thumb|Sinus, cosinus și tangentă hiperbolică În matematică, funcțiile hiperbolice sunt analoagele funcțiilor trigonometrice, dar definite folosind hiperbola în locul cercului. La fel cum punctele formează un cerc [cu raza de o] unitate, punctele formează jumătatea dreaptă a unei hiperbole unitate. De asemenea, la fel cum derivatele lui și sunt și , derivatele lui și sunt și .
Funcțiile hiperbolice apar în calculele unghiurilor și distanțelor din geometrie hiperbolică. Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor ecuații diferențiale liniare (cum ar fi ecuația care definește un lănțișor), ecuații cubice și ecuația lui Laplace în coordonate carteziene. Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale fizicii, inclusiv teoria electromagnetică, transferul de căldură, dinamica fluidelor și relativitatea restrânsă.
Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba englezăRemus Răduleț și colab. Lexiconul Tehnic Român, ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „funcții hiperbolice” însă în prezent există o tendință de aliniere.Octavian Mircia Gurzău, Curs scurt de matematici speciale, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, 2017, accesat 2021-03-29 De asemenea, în literatura matematică în limba română funcțiile secantă hiperbolică, cosecantă hiperbolică și în bună măsură cotangentă hiperbolică nu se folosesc, fiind exprimate comod prin funcțiile cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică.
Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:
Funcția Notația înlimba românăactualăanterioară Notația înlimba engleză (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, variante Funcția inversă Notația înlimba română Notația înlimba engleză sinus hiperbolic sinhsh sinh arcsinus hiperbolicargument sinus hiperbolic arcsinh, arcshargsinh, argsh arcsinharsinhasinh cosinus hiperbolic coshch cosh arccosinus hiperbolicargument sinus hiperbolic arccosh, arcchargcosh, argch arccosharcoshacosh tangentă hiperbolică tanhth tanh arctangentă hiperbolicăargument tangentă hiperbolică arctanhargth arctanhartanhatanh cotangentă hiperbolică cothcth coth arccotangentă hiperbolicăargument cotangentă hiperbolică arccothargcth arccotharcothacoth secantă hiperbolică – sech arcsecantă hiperbolică – arcsecharsechasech cosecantă hiperbolică – cosechcsch arccosecantă hiperbolică – arccscharcschacsch
thumb|O „rază” în hiperbola unitate în punctul , unde este dublul ariei dintre rază, hiperbolă și axa . În punctele de pe hiperbolă sub axa aria este considerată negativă (v. o animație de comparație cu funcțiile trigonometrice)
Argumentul unei funcții hiperbolice este un număr real, numit unghi hiperbolic. Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria sectorului său hiperbolic. Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui triunghi hiperbolic drept care acoperă acest sector.
În analiza complexă, funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi. Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt meromorfe în întregul plan complex.
Teorema Lindemann–Weierstrass afirmă că funcțiile hiperbolice au o valoare transcendentală pentru orice valoare algebrică nenulă a argumentului.
Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de Vincenzo Riccati și Johann Heinrich Lambert. Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100. Riccati a folosit și (din ) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și și (din ) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi. Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii. Abrevierile , , , sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.
Definiții thumb|sinh, cosh și tanh thumb|csch, sech și coth Există diferite moduri echivalente de a defini funcțiile hiperbolice.
Definirea cu funcția exponențială thumb| este jumătate din diferența dintre și thumb| este media aritmetică a și Folosind funcția exponențială: Sinusul hiperbolic:
Cosinusul hiperbolic:
Tangenta hiperbolică:
Cotangenta hiperbolică, pentru :
Secanta hiperbolică:
Cosecanta hiperbolică, pentru :
Definirea prin ecuații diferențiale Funcțiile hiperbolice pot fi definite ca soluții ale ecuațiilor diferențiale: sinusul și cosinusul hiperbolic sunt soluția unică a sistemului:
astfel încât și .
(Condițiile inițiale și sunt necesare deoarece orice pereche de funcții de forma este o soluție a celor două ecuații diferențiale.)
De asemenea, sinh x și cosh x sunt unica soluție a ecuației , astfel încât , pentru cosinusul hiperbolic și , pentru sinusul hiperbolic.
Definirea prin relații trigonometrice în planul complex Funcțiile hiperbolice pot fi deduse din funcțiile trigonometrice de argument complex: Sinusul hiperbolic:
Cosinusul hiperbolic:
Tangenta hiperbolică:
Cotangenta hiperbolică:
Secanta hiperbolică:
Cosecanta hiperbolică:
unde este unitatea imaginară cu .
Definițiile de mai sus sunt legate de definițiile exponențiale prin formula lui Euler.
Proprietăți caracteristice Cosinusul hiperbolic Se poate arăta că aria de sub curba cosinusului hiperbolic (pe un interval finit) este întotdeauna egală cu lungimea arcului corespunzătoare acelui interval:
Tangenta hiperbolică Tangenta hiperbolică este unica soluție a ecuației diferențiale , cu . Extract of page 281 (using lambda=1) Extract of page 290
Relații uzuale Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, toate similare ca formă cu identitățile trigonometrice. De fapt, regula lui Osborn afirmă că se poate converti orice identitate trigonometrică în , , sau și într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă după puterile sinusurilor și cosinusurilor, schimbarea sinusurilor și cosinusurilor în cosinusuri, respectiv sinusuri hiperbolice și schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs din două sinusuri hiperbolice.
Funcții pare și impare:
de unde:
prin urmare și sunt funcții pare; celelalte fiind impare.
Sinusul și cosinusul hiperbolic satisfac relațiile:
ultima fiind similară cu identitatea trigonometrică pitagoreică.
Între alte funcții există și relațiile:
Formule pentru sume
în particular
Și:
Formule pentru diferențe
Și:
Formule pentru jumătatea argumentului
unde este semnul funcției.
Dacă , atunci
Formule pentru pătratul funcțiilor
Inegalități Următoarea inegalitate este utilă în statistici:
Ea poate fi demonstrată comparând termen cu termen seriile Taylor ale celor două funcții.
Funcțiile inverse ca logaritmi
Derivate
Derivata a doua Fiecare dintre funcțiile și este egală cu derivata a doua a lor, adică:
Toate funcțiile cu această proprietate sunt combinații liniare de și , în particular de funcțiile exponențiale și .
Integrale
Următoarele integrale pot fi demonstate cu ajutorul substituției hiperbolice:
unde C este constanta de integrare.
Dezvoltări în serie Taylor Funcțiile de mai sus pot fi dezvoltate în serie Taylor la zero (sau serie Laurent, dacă funcția nu este definită în zero).
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a . Deoarece funcția este impară, numai exponenții impari ai lui apar în seria sa Taylor.
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a . Deoarece funcția este pară, numai exponenții pari ai lui apar în seria sa Taylor.
Suma seriilor sinh și cosh este expresia seriei infinite a funcției exponențiale.
Următoarele serii sunt urmate de o descriere a unui subdomeniu al domeniului convergenței lor, în care seria este convergentă și suma sa este egală cu funcția.
unde: este al n-lea număr Bernoulli este al n-lea număr Euler
Comparație cu funcțiile trigonometrice thumb|Cercul și hiperbola tangente în (1,1) arată geometria funcțiilor trigonometrice în funcție de aria u a sectorului de cerc și funcțiile hiperbolice în funcție aria u a sectorului hiperbolic Funcțiile hiperbolice sunt o generalizare a trigonometriei dincolo de funcțiile trigonometrice. Ambele tipuri sunt în funcție de un argument, unghi, respectiv unghi hiperbolic.
Deoarece aria unui sector de cerc cu raza r și unghiul u (în radiani) este , ea va fi egală cu u când r = . În diagramă, un astfel de cerc este tangent la hiperbola "xy" = 1 în (1,1). Sectorul portocaliu descrie o zonă și un unghi. Similar, sectoarele portocaliu și roșu prezintă împreună zona și mărimea unghiului hiperbolic.
Catetele opuse unghiului ale celor două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza pe rază au lungimea de ori funcțiile trigonometrică, respectiv hiperbolică.
Unghiul hiperbolic este invariant la o rotație hiperbolică, la fel cum unghiul (trigonometric) este invariant la o rotație. Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text
Funcția Gudermann oferă o relație directă între funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice care nu implică numere complexe.
Graficul funcției a cosh(x/a) este lănțișorul, curba formată sub acțiunea gravitației uniforme de un lanț flexibil uniform, liber, agățat doar între două puncte fixe.
Relația cu funcția exponențială Funcțiile hiperbolice se pot defini algebric in absența considerentelor geometrice legate de hiperbolă folosind funcția exponențială de argumente x și -x. Acest procedeu permite deducerea identităților:
și
Prima este analogă cu formula lui Euler
În plus,
Funcții hiperbolice pentru numere complexe Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex, definițiile funcțiilor hiperbolice pot fi extise la argumente complexe. Funcțiile sinh z și cosh z sunt atunci olomorfe.
Relațiile cu funcțiile trigonometrice obișnuite sunt date de formula lui Euler pentru numerele complexe:
deci:
Astfel, funcțiile hiperbolice sunt periodice în raport cu componenta imaginară, cu perioada (pentru tangenta și cotangenta hiperbolică).
+ Funcții hiperbolice în planul complex120px120px120px120px120px120px
Note
Legături externe
Hyperbolic functions la PlanetMath GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (Java Web Start) Web-based calculator of hyperbolic functions
Categorie:Geometrie hiperbolică Categorie:Funcții analitice