thumb|Tesseractul este unul dintre cele 6 4-politopuri regulate convexe În matematică, un 4-politop regulat este un politop 4-dimensional regulat. Aceste politopuri sunt analoagele în patru dimensiuni ale poliedrelor regulate din trei dimensiuni și ale poligoanelor regulate din două dimensiuni.

4-politopurile regulate au fost descrise pentru prima dată de către matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea, deși setul complet nu a fost descoperit decât mai târziu.

Există șase astfel de politopuri convexe și zece politopuri stelate regulate, în total șaisprezece.

Istoric 4-politopurile convexe regulate au fost descrise pentru prima dată de către matematicianul Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. El a descoperit că sunt exact șase astfel de figuri. Schläfli a găsit, de asemenea, patru dintre 4-politopurile stelate regulate: marele 120-celule, marele 120-celule stelat, marele 600-celule și marele larg 120-celule stelat. El a omis restul de șase, deoarece nu a admis formele care nu satisfac caracteristica Euler pe celule sau figura vârfului (pentru toruri cu zero găuri: F − E + V = 2). Aceasta exclude celulele și figurile vârfului pentru {5,5/2} și {5/2,5}.

Edmund Hess (1843–1903) a publicat lista completă în cartea sa din 1883 „Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder” (în ).

Construcție Existența unui 4-politop regulat este constrânsă de existența poliedrelor regulate care formează celulele sale și o constrângere dată de unghiul diedru:

pentru a se asigura că celulele se întâlnesc pentru a forma o 3-frontieră închisă. Cele șase politopuri convexe și zece stelate menționate sunt singurele soluții care satisfac aceste constrângeri.

Există patru simboluri Schläfli {p,q,r} pentru 4-politopuri neconvexe care au celule valide {p,q} și figurile vârfului {q,r}, și satisfac condiția diedrică, dar nu pot produce figuri finite: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4} și {5/2,3,5/2}.

4-politopuri regulate convexe 4-politopurile regulate convexe sunt analoagele în patru dimensiuni ale poliedrelor platonice din trei dimensiuni și ale poligoanelor regulate convexe din două dimensiuni.

Cinci din cele șase sunt în mod clar analoagele celor cinci poliedre platonice corespunzătoare. Al șaselea, 24-celule, nu are un analog regulat în trei dimensiuni. Însă există o pereche de poliedre neregulate, cuboctaedrul și dualul său, dodecaedrul rombic, care sunt parțial analoage cu 24-celule (în moduri complementare). Împreună pot fi considerate ca analogul tridimensional al 24-celule.

Fiecare 4-politop convex regulat este delimitat de un set de 3 celule, care sunt toate poliedre platonice de același tip și dimensiune. Acestea sunt grupate împreună având fețele lor în contact în mod regulat.

Proprietăți Următoarele tabele enumeră câteva proprietăți ale celor șase 4-politopuri convexe. Grupurile de simetrie ale acestor 4-politopuri sunt toate grupuri Coxeter și sunt date în notația descrisă în acel articol. Numărul care urmează denumirii grupului este ordinul grupului. Nume Imagine Familie SchläfliCoxeter V L F C Fig.vârf Dual Grup de simetrie 5-celule4-simplex 105px n-simplex(familia An) {3,3,3} 5 10 10{3} 5{3,3} {3,3} (autodual) A4[3,3,3] 120 16-celule4-ortoplex 105px n-ortoplex(familia Bn) {3,3,4} 8 24 32{3} 16{3,3} {3,4} 8-celule B4[4,3,3] 384 8-celuletesseract4-cub 105px hipercubn-cub(familia Bn) {4,3,3} 16 32 24{4} 8{4,3} {3,3} 16-celule B4[4,3,3] 384 24-celuleoctaplexpolioctaedru (pO) 105px familia Fn {3,4,3} 24 96 96{3} 24{3,4} {4,3} (autodual) F4[3,4,3] 1152 600-celuletetraplexpolitetraedru (pT) 105px n-politop pentagonal(familia Hn) {3,3,5} 120 720 1200{3} 600{3,3} {3,5} 120-celule H4[5,3,3] 14400 120-celuledodecaplexpolidodecaedru (pD) 105pxn-politop pentagonal(familia Hn) {5,3,3} 600 1200 720{5} 120{5,3} {3,3} 600-celule H4[5,3,3] 14400

John Conway a susținut denumirile „simplex”, „ortoplex”, „tesseract”, „octaplex” sau „polioctaedru” (pO), „tetraplex” sau „politetraedru” (pT) și „dodecaplex” sau „polidodecaedru” (pD).

Norman Johnson a susținut denumirile „n-celule”, „tesseract” și încă câteva denumiri întâlnite în literatura în limba engleză, ca polychoron, bazate pe cuvintele din limba (în ) și χώρος (în ), "Convex and abstract polytopes", Programme and abstracts, MIT, 2005 însă în limba română traducerea lui „choros” drept sufix „-cor”-cor, dexonline.ro, accesat 2021-03-30 nu este folosită în matematică.

Caracteristica Euler pentru toate 4-politopurile este zero, analogul 4-dimensional al formulei poliedrice a lui Euler este:

unde Nk indică numărul de k-fețe din politop (un vârf este o 0-față, o latură este o 1-față etc.). Aceast aspect este caracteristic politopurilor cu un număr par de dimensiuni și este evidențiat simplu de dualitate.

Topologia oricărui 4-politop este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.

Configurații descriptive Un 4-politop regulat poate fi complet descris de o matrice de configurație care conține numărul elementelor sale componente. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonala principală (din stânga sus în dreapta jos) arată câte din fiecare tip de element apar în întregul 4-politop. Celelalte numere arată câte elemente ale coloanei apar pentru sau la elementul rândului. De exemplu în orice 4-politop regulat există 2 vârfuri "pentru" fiecare latură (fiecare latură "are" 2 capete) iar 2 celule se întâlnesc "la" fiecare față (fiecare față "aparține" de 2 celule). Se observă că configurația politopului dual poate fi obținută prin rotirea matricei cu 180°.Coxeter, Complex Regular Polytopes, p.117 5-celule{3,3,3}16-celule{3,3,4}tesseract{4,3,3}24-celule{3,4,3}600-celule{3,3,5}120-celule{5,3,3}

Vizualizare Tabelul următor prezintă câteva proiecții bidimensionale ale acestor 4 politopuri. Diverse alte vizualizări pot fi găsite în legăturile externe de mai jos. Diagramele Coxeter–Dynkin sunt și ele date sub simbolul Schläfli. A4 = [3,3,3] B4 = [4,3,3] F4 = [3,4,3] H4 = [5,3,3] 5-celule 8-celule 16-celule 24-celule 120-celule 600-celule {3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}Poliedre 3D în proiecție ortogonală 105pxAnvelopătetraedrică(centrată pe celulăl/vârf) 105pxAnvelopăcubică(centrată pe celulă) 105pxAnvelopăcubică(centrată pe celulă) 105pxAnvelopăcuboctaedrică(centrată pe celulă) 105pxAnvelopătriacontaedricărombică trunchiată(centrată pe celulă) 105pxAnvelopăicosidodecaedricăpentakis(centrată pe vârf)Diagrame Schlegel cadru de sârmă ( proiecție centrală) 105pxcentrată pe celulă 105pxcentrată pe celulă 105pxcentrată pe celulă 105pxcentrată pe celulă 105pxcentrată pe celulă 105pxcentrată pe vârf Proiecții stereografice cadru de sârmă (3-sferă) 105px 105px 105px 105px 105px 105px

4-politopuri regulate stelate (Schläfli–Hess) 300px|thumb|Figura arată relațiile dintre politopurile stelate cvadridimensionale; cele 2 forme convexe și 10 forme stelate pot fi văzute în 3D ca vârfurile unui cuboctaedru 300px|thumb|Un subset de relații între 8 forme dintre 120-celule, polidodecaedru (pD). Cele trei operații {a,g,s} sunt comutabile, definind un cadru cubic; există 7 densități văzute în poziționare verticală, cu 2 forme duale având aceeași densitate 4-politopurile Schläfli–Hess sunt setul complet de 10 politopuri stelate regulate cvadridimensionale.Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f{α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes Ele sunt numite astfel în onoarea descoperitorilor lor, Ludwig Schläfli și Edmund Hess. Fiecare este reprezentat de un simbol Schläfli {p,q,r} în care unul dintre numere reprezintă o pentagramă (5/2). Astfel, acestea sunt analoage neconvexe regulate ale poliedrelor Kepler–Poinsot, care sunt, la rândul lor, analoagele pentagramei.

Denumiri Numele le-au fost date de John Conway, extinzând numele date de Arthur Cayley poliedrelor Kepler–Poinsot. Împreună cu „stelat” (în ) și „mare” (în ), a adaugat modificatorul „larg” (în ). Conway a oferit aceste definiții operaționale: stelare (în , simbol „s”) – înlocuiește laturile (muchiile) cu altele mai lungi care sunt pe aceleași drepte. (Exemplu: un pentagon stelează într-o pentagramă) mărire (în , simbol „g”) – înlocuiește fețele cu altele mai mari care sunt în aceleași plane. (Exemplu: un icosaedru se mărește în marele icosaedru) lărgire (în , simbol „a”) – înlocuiește celulele cu celule mai mari în aceleași 3-spații. (Exemplu: un 600-celule se transformă în largul 600-celule)

John Conway denumește cele 10 forme ale 4-politopurilor cu 3 forme de celule regulate: pT = politetraedru {3,3,5} (600-celule teraedrice), pI = poliicosaedru {3,5,5/2} (120-celule icosaedrice), respectiv pD = polidodecaedru {5,3,3} (120-celule dodecaedrice), cu prefixele g, a, și s pentru mare, larg și (în limba română sufix) stelat. Stelarea finală, marele larg polidodecaedru stelat conține toate acestea în gaspD.

Simetrie Toate cele zece 4-politopuri au simetrii [3,3,5] (H4). Ele sunt generate din cele 6 grafuri liniare asociate cu tetraedrul Goursat: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] și [3,3,5/2].

Fiecare grup generează câte 2 4-poliedre stelate, cu excepția a două grupuri care sunt auto-duale, care generează doar câte unul. Deci între cele zece 4-politopuri stelate regulate există 4 perechi duale și 2 forme autoduale.

Proprietăți De reținut: Există 2 aranjamente ale vârfurilor unice, care se potrivesc cu cele ale 120-celule și 600-celule. Există 4 aranjamente ale laturilor unice, care sunt afișate ca proiecții ortogonale ale cadrelor de sârmă. Există 7 aranjamente ale fețelor unice, care sunt prezentate ca proiecții ortografice colorate pe fețe.

Celulele (poliedre), fețele lor (poligoane), figurile laturilor și ale vârfurilor sunt identificate prin simbolurile Schläfli ale acestora. NumeConway (abrev.) Proiecțieortogonală SchläfliCoxeter C{p, q} F{p} L{r} V{q, r}Dens. χ 120-celule icosaedricpoliicosaedru (pI) 75px {3,5,5/2} 120{3,5}25px 1200{3}25px 720{5/2}25px 120{5,5/2}25px 4 480 Micul 120-celule stelatpolidodecaedru stelat (spD) 75px {5/2,5,3} 120{5/2,5}25px 720{5/2{5/2}25px 1200{3}25px 120{5,3}25px 4 −480 Marele 120-celulemarele polidodecaedru (gpD) 75px {5,5/2,5} 120{5,5/2}25px 720{5}25px 720{5}25px 120{5/2,5}25px 6 0 Largul 120-celulelargul polidodecaedru (apD) 75px {5,3,5/2} 120{5,3}25px 720{5}25px 720{5/2}25px 120{3,5/2}25px 20 0 Marele 120-celule stelatmarele polidodecaedru stelat (gspD) 75px {5/2,3,5} 120{5/2,3}25px 720{5/2}25px 720{5}25px 120{3,5}25px 20 0 Largul 120-celule stelatlargul polidodecaedru stelat (aspD) 75px {5/2,5,5/2} 120{5/2,5}25px 720{5/2}25px 720{5/2}25px 120{5,5/2}25px 66 0 Marele larg 120-celulemarele larg polidodecaedru (gapD) 75px {5,5/2,3} 120{5,5/2}25px 720{5}25px 1200{3}25px 120{5/2,3}25px 76 −480 Marele 120-celule icosaedricmarele poliicosaedru (gpI) 75px {3,5/2,5} 120{3,5/2}25px 1200{3}25px 720{5}25px 120{5/2,5}25px 76 480 Largul 600-celulelargul politetraedru (apT) 75px {3,3,5/2} 600{3,3}25px 1200{3}25px 720{5/2}25px 120{3,5/2}25px 191 0 Marele larg 120-celule stelatmarele larg polidodecaedru stelat (gaspD) 75px {5/2,3,3} 120{5/2,3}25px 720{5/2}25px 1200{3}25px 600{3,3}25px 191 0

4-politopuri infinite Se cunosc următoarele 4-politopuri infinite regulate: un fagure euclidian regulat: {4,3,4}; patru faguri hiperbolici regulați compacți: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} și {5,3,5}; unsprezece faguri hiperbolici regulați paracompacți: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} și {6,3,6}.

4-politopuri abstracte Se cunosc următoarele 4-politopuri abstracte regulate: 11-celule {3,5,3}; 57-celule {5,3,5}.

Note

Bibliografie

(Paper 10)

Legături externe

Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Regular 4D Polytope Foldouts Catalog of Polytope Images O colecție de proiecții stereografice a 4-politopurilor.