300px|thumb|Două copii chirale ale cubului snub, ca vârfuri alternate (roșii sau verzi) ale cuboctaedrului trunchiat În geometrie, snub este o operație aplicată unui poliedru. Termenul provine din numele date de Kepler la două poliedre arhimedice: cubul snub (cubus simus) și dodecaedrul snub (dodecaedron simum). Kepler, Harmonices Mundi, 1619 În general, snuburile au simetrie chirală cu două forme: cu orientare în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. După numele lui Kepler, un snub poate fi văzut ca o expandare a unui poliedru regulat: deplasarea fețelor, răsucirea lor în jurul centrelor lor, adăugarea de poligoane noi centrate pe vârfurile originale și adăugarea de perechi de triunghiuri care se încadrează între marginile originale.
Terminologia a fost generalizată de Coxeter, cu o definiție ușor diferită, pentru o gamă mai largă de politopuri uniforme.
Snubul Conway John Conway a explorat operatorii poliedrici generalizați, definind ceea ce acum se numește acum notația Conway a poliedrelor, care poate fi aplicată poliedrelor și pavărilor. Conway numește operația așa cum a fost definită de Coxeter semisnub.
În această notație, operatorul snub (s) este definit de operatorii dual (d) și giro (g) drept s = dg și este echivalent cu o alternare a unei trunchieri a operatorului ambo. Notația Conway evită operația de alternare (half) a lui Coxeter, deoarece se aplică numai la poliedre cu fețe poligonale cu un număr par de laturi. + Figuri regulate snubForme pentru snubPoliedrePavări euclidienePavări hiperboliceNumeTetraedruCub oroctaedruIcosaedru saudodecaedruPavare pătratăPavare hexagonală sauPavare triunghiularăPavare heptagonală sauPavare triunghiulară de ordinul 7Imagini40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40px40pxNotațiaConwaysTsC = sOsI = sDsQsH = sΔsΔ7Imagini100px100px100px100px100px100px
În 4 dimensiuni Conway propune că 24-celule snub ar trebui numit 24-celule semisnub, deoarece, spre deosebire de poliedrele snub tridimensionale, sunt forme omnitrunchiate alternate, nu este un 24-celule omnitrunchiat alternat. În schimb, este de fapt un 24-celule trunchiat alternat.Conway, 2008, p. 401 Gosset's Semi-snob Polyoctahedron
Snubul Coxeter, regulat și cvasiregulat thumb|Un cub snub poate fi construit dintr-un rombicuboctaedru prin rotirea celor 6 fețe pătrate albastre până când cele 12 fețe pătrate albe devin perechi de fețe triunghiulare echilaterale Terminologia lui Coxeter este ușor diferită, înseamnând o trunchiere alternată, obținâmd cubul snub ca un cuboctaedru snub, iar dodecaedrul snub ca un icosidodecaedru snub. Această definiție este utilizată în denumirile a două poliedre Johnson: bisfenoidul snub și antiprisma pătrată snub, precum și în politopuri din dimensiuni superioare, cum ar fi 4-dimensionalul 24-celule snub, cu simbolul Schläfli extins s{3,4,3} și diagrama Coxeter .
Un poliedru regulat (sau pavare), cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter are trunchierea definită ca și , și are snubul definit ca trunchierea alternată și . Această construcție alternată necesită ca q să fie par.
Un poliedru cvasiregulat, cu simbolul Schläfli sau r{p,q} și diagrama Coxeter sau , are trunchierea cvasiregulată definită ca sau tr{p,q} și sau și are snubul cvasiregulat definit ca rectificarea trunchiată alternată or htr{p,q} = sr{p,q} și sau . + Cub snub, obținut din cub sau cuboctaedruSămânțăRectificatrTrunchiattAlternathNumeCubCuboctaedruCub rectificatCuboctaedru trunchiatCub cantitrunchiatCuboctaedru snub Cub rectificat snubNotația ConwayCCOrCtCOtrC or trOhtCO = sCOhtrC = srCSimbol Schläfli{4,3} or r{4,3} or tr{4,3}htr{4,3} = sr{4,3}Diagramă Coxeter sau sau sau Imagine50px50px50px50px
De exemplu, cubul snub al lui Kepler este obținut din cuboctaedrul cvasiregulat, cu un simbol Schläfli vertical și diagrama Coxeter , iar așa este mai explicit numit cuboctaedru snub, exprimat de un simbol Schläfli vertical și o diagramă Coxeter . Cuboctaedrul snub este alternarea cuboctaedrului trunchiat, și .
Poliedrele regulate cu fețe cu un număr par de vârfuri pot fi, de asemenea, snubate ca trunchieri alternate, cum ar fi octaedru snub, așa cum , , este alternarea octaedrului trunchiat, și .. Octaedru snub reprezintă pseudoicosaedrul, un icosaedru regulat cu simetrie piritoedrică.
Tetratetraedrul snub, ca și , este alternarea formei cu simetrie tetraedică, trunchiate, și . SămânțăTrunchiattAlternathNumeOctaedruOctaedru trunchiatOctaedru snubNotația ConwayOtOhtO or sOSimbol Schläfli{3,4}t{3,4}ht{3,4} = s{3,4}Diagramă CoxeterImagine50px50px50px
Operația snub definită de Coxeter permite să se definească n-antiprismele ca sau , bazate pe n-prismele or , unde este un n-hosoedru regulat, un poliedru degenerat, dar o pavare validă a sferei cu fețe în formă de digoane sau lentile. + Hosoedre snub, {2,2p}Imagine 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60pxDiagrame Coxeter......SimboluriSchläflis{2,4}s{2,6}s{2,8}s{2,10}s{2,12}s{2,14}s{2,16}...s{2,∞}sr{2,2}sr{2,3}sr{2,4}sr{2,5}sr{2,6}sr{2,7}sr{2,8}......sr{2,∞}Notația ConwayA2 = TA3 = OA4A5A6A7A8...A∞
Același proces se aplică pavărilor snub: Pavare triunghiularăΔPavare triunghiulară trunchiatătΔPavare triunghiulară snubhtΔ = sΔ{3,6}t{3,6}ht{3,6} = s{3,6}50px50px50px
Exemple + Snuburi bazate pe {p,4}SpațiuSfericEuclidianHiperbolicImagine60px60px60px60px60px60px60px60pxDiagramăCoxeter...SimbolSchläflis{2,4}s{3,4}s{4,4}s{5,4}s{6,4} s{7,4}s{8,4}s{∞,4}
+ Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,3}NotațiaConwaySfericEuclidianHiperbolicImagine60px60px60px60px60px60px60px60pxDiagramăCoxeter...SimbolSchläflisr{2,3}sr{3,3}sr{4,3}sr{5,3}sr{6,3}sr{7,3}sr{8,3}... sr{∞,3}NotațieConwayA3sTsC sau sOsD sau sIsΗ sau sΔ
+ Snuburi cvasiregulate bazate pe r{p,4}SpațiuSfericEuclidianHiperbolicImagine60px60px60px60px60px60px60px60pxDiagramăCoxeter...SimbolSchläflisr{2,4}sr{3,4}sr{4,4}sr{5,4}sr{6,4}sr{7,4}sr{8,4}...sr{∞,4}NotațiaConwayA4sC sau sOsQ
Poliedre neuniforme snub Poliedrele neuniforme cu toate fețele având un număr par de vârfuri pot fi snubate, inclusiv unele seturi infinite; de exemplu: + Bipiramide snub sdt{2,p}320pxBipiramidă pătrată snub320pxBipiramidă hexagonală snub
+ Bipiramide rectificate snub srdt{2,p}480px
+ Antiprisme snub s{2,2p}Imagine50px80px80px80px...SimbolSchläfliss{2,4}ss{2,6}ss{2,8}ss{2,10}...ssr{2,2}ssr{2,3}ssr{2,4}ssr{2,5}...
Poliedrele stelate uniforme snub (Coxeter) Poliedrele stelate snub se construiesc pe baza triunghiurilor Schwarz (p q r), cu unghiurile reflexiilor ordonate rațional, iar toate oglinzile sunt active și alternate. + Poliedre stelate uniforme snub100pxs{3/2,3/2}100pxs{(3,3,5/2)}100pxsr{5,5/2}100pxs{(3,5,5/3)}100pxsr{5/2,3}100pxsr{5/3,5}100pxs{(5/2,5/3,3)}100pxsr{5/3,3}100pxs{(3/2,3/2,5/2)}100pxs{3/2,5/3}
Politopuri și faguri snub din dimensiuni superioare (Coxeter) În general, un 4-politop regulat cu simbolul Schläfli , și diagrama Coxeter , are snubul cu simbolul Schläfli extins și .
Un 4-politop rectificat = r{p,q,r}, și are simbolul snubului = sr{p,q,r} și .
Exemple thumb|Proiecție ortogonală a 24-celule snub Există un singur 4-politop convex uniform snub, 24-celule snub. 24-celule regulat are simbolul Schläfli și diagrama Coxeter , iar 24-celule snub este reprezentat de și diagrama Coxeter diagram . El are și o construcție cu o simetrie indice 6 ca sau s{31,1,1} și , și o subsimetrie indice 3 ca sau sr{3,3,4} și sau .
Fagurele 24-celule snub asociat poate fi văzut ca sau s{3,4,3,3} și , iar cu simetrie mai mică sau sr{3,3,4,3} și sau , iar cu o formă cu simetrie mai mică ca sau s{31,1,1,1} și .
Un fagure euclidian este un fagurele sleb hexagonal alternat, s{2,6,3} și sau sr{2,3,6} și sau sr{2,3} și . 160px
Alt fagure euclidian (scaliform) este fagurele sleb pătrat alternat, s{2,4,4} și sau sr{2,41,1} și : 160px
Unicul fagure uniform hiperbolic snub este fagurele pavare hexagonală snub, ca s{3,6,3} și , care poate fi construit și ca un fagure pavare hexagonală alternată, h{6,3,3}, . El poate fi construit și ca s{3[3,3]} și .
Alt fagure hiperbolic (scaliform) este fagurele octaedric snub de ordinul 4, s{3,4,4} și .
Note
Bibliografie
Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation) Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, , Googlebooks (Paper 17) H.S.M. Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248] (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591] (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] H.S.M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes) Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991) N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008,
Richard Klitzing, Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329–344, (2010)
Categorie:Geometrie Categorie:Poliedre