În matematică, un număr triunghiular și pătratic sau număr pătratic și triunghiular este un număr care este atât un număr triunghiular, cât și un număr pătratic. Există infinit de multe asemenea numere, primele câteva sunt: 0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625
Formule Notând cu al -lea număr triunghiular și pătratic, cu respectiv numerele corespunzătoare pătratice și triunghiulare există relația:
Fie rădăcina triunghiulară a unui număr triunghiular . Rezolvând această ecuație de gradul 2 se obține:
Deci, este triunghiular ( este întreg) dacă și numai dacă este un pătrat. Prin urmare, numărul pătratic este și el triunghiular dacă și numai dacă este un pătrat, adică numerele și satisfac relația . Aceasta este o ecuație Pell cu . Toate ecuațiile Pell au pentru orice soluția trivială , care idexată este notată . Dacă este cea de a -a soluție netrivială a oricărei ecuații Pell pentru un dat, se poate arăta că
Există o infinitate de soluții la orice ecuație Pell, printre care există una netrivială ori de câte ori nu este un pătrat. Prima soluție netrivială când este (3,1). Soluția pentru dă un număr triunghiular și pătratic și rădăcinile sale pătratice și triunghiulare după cum urmează:
Prin urmare, primul număr triunghiular și pătratic, derivat din (3,1), este 1, iar următorul, derivat din , este 36.
Șirurile , și sunt șirurile OEIS A001110, respectiv OEIS A001109 și OEIS A001108.
În 1778 Leonhard Euler a determinat formula explicită
Alte formule echivalente (obținute prin dezvoltarea acestei formule) sunt:
Formulele explicite corespondente pentru și sunt:
Relații de recurență Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare și pătratice, precum și pentru laturile pătratului și triunghiului implicat:
Și:
Note
Categorie:Numere figurative