În algebră abstractă, o extindere de corp L/K se numește algebrică dacă fiecare element din L este algebric peste K, adică dacă fiecare element din L este o rădăcină a unor polinom nenul cu coeficienți în K. Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283. Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453. Extinderile de corp care nu sunt algebrice, adică care conțin elemente transcendente se numesc transcendente. Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267. Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
De exemplu, extinderea de corp R/Q, care este corpul numerelor reale ca extindere a corpului numerelor raționale, este transcendent, Malik, Mordeson, Sen (1997), Example 21.1.17, p. 451. deoarece corpul extinderilor C/RMalik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447. și Q()/Q Fraleigh (2014), Example 31.8, p. 285. este algebric, unde C este corpul numerelor complexe.
Toate extinderile transcendente sunt de grad infinit. Acest lucru implică faptul că toate extinderile finite sunt algebrice. See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3. Inversa nu este adevărată: există extinderi infinite care sunt algebrice. Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288. De exemplu corpul numerelor algebrice este o extindere algebrică infinită a numerelor raționale. Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
Fie E o extindere a corpului K, iar a ∈ E. Dacă a este algebric peste K, atunci K(a), mulțimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienți în K, este nu numai un inel, ci un corp: K(a) este o extindere algebrică a lui K care are un grad finit peste K. Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280. Inversa nu este adevărată. Q[] și Q[e] sunt corpuri, dar și sunt transcendente peste Q. Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
Toate corpurile algebric închise F nu au extinderi algebrice proprii, adică nu au extinderi algebrice E cu F < E. Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287. Un exemplu este corpul numerelor complexe. Fiecare corp are o extindere algebrică care este închisă algebric (numită închidere algebrică), dar pentru a demonstra acest lucru în general este nevoie de o formă a axiomei alegerii. Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
O extindere L/K este algebrică dacă și numai dacă orice K-subalgebră a L este un corp.
Properietăți Clasa extinderilor algebrice formează o clasă distinctă de extinderi de corp, extinderi care au următoarele trei proprietăți: Lang (2002) p.228 Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar F este o extindere algebrică a lui K, atunci E este o extindere algebrică a lui K. Dacă E și F sunt extinderi algebrice ale lui K într-un supracorp comun C, atunci EF este o extindere algebrică a lui K. Dacă E este o extindere algebrică a lui F iar E>K>F atunci E este o extindere algebrică a lui K.
Aceste rezultate pot fi generalizate folosind inducția transfinită:
Acest fapt, împreună cu lema lui Zorn (aplicate la o mulțime parțial ordonată corespunzătoare), stabilește existența închiderilor algebrice.
Generalizări generalizează noțiunea de extindere algebrică la teorii arbitrare: o încorporare a M în N se numește extindere algebrică dacă pentru fiecare x din N există o p cu parametri în M, astfel încât p(x) este adevărată iar mulțimea
este finită. Se pare că aplicarea acestei definiții la teoria corpurilor oferă definiția obișnuită a extinderii algebrice. al N peste M poate fi din nou definit ca grup de automorfisme, și reiese că majoritatea teoriei grupurilor Galois poate fi dezvoltată pentru cazul general.
Note
Vezi și extindere normală
Bibliografie
Categorie:Teoria corpurilor