În matematică, dacă este o extindere de corp a lui , atunci un element din se numește element algebric peste , sau doar algebric peste dacă există vreun polinom nenul cu coeficienți în astfel încât . Elementele lui care nu sunt algebrice peste se numesc transcendente peste .
Aceste noțiuni generalizează numerele algebrice și numerele transcendente (unde este extinderea corpului este , fiind corpul numerelor complexe iar fiind corpul numerelor raționale).
Exemple este algebrică peste , deoarece este rădăcina polinomului ai cărui coeficienți sunt raționali. este transcendent peste dar algebric peste corpul numerelor reale : este rădăcina ecuației , a cărei coeficienți (1 și −) sint ambii reali, dar nu a vreunui polinom cu coeficienți exclusiv raționali. (Definiția numerelor transcendente folosește , nu .)
Proprietăți Următoarele condiții sunt echivalente pentru un element din : este algebric peste , extinderea de corp are un grad finit, adică dimensiunea lui ca -spațiu vectorial este finită (aici semnifică cel mai mic subcorp al lui conținând și ), , unde este mulțimea tuturor elementelor din ceea ce se poate scrie sub forma cu polinomul ai cărui coeficienți sunt în .
Această caracterizare poate fi utilizată pentru a arăta că suma, diferența, produsul și câtul elementelor algebrice peste sunt și ele algebrice peste . Mulțimea tuturor elementelor din care sunt algebrice peste este un corp care se află între și .
Dacă este algebric peste , atunci există multe polinoame diferite de zero cu coeficienți în astfel încât . Totuși, există unul singur cu cel mai mic grad și cu coeficientul principal 1. Acesta este polinomul minimal al lui a și include multe proprietăți importante ale lui .
Corpurile care nu permit niciun element algebric peste ele (cu excepția propriilor elemente) se numesc algebric închise. Corpul numerelor complexe este un exemplu.
Bibliografie
Categorie:Algebră abstractă