Polinom minimal

În teoria corpurilor, o ramură a matematicii, polinomul minimal al unei valori este, într-o exprimare neformală, polinomul cu cel mai mic grad având coeficienți de un tip specificat, astfel încât este o rădăcină a polinomului. Dacă polinomul minimal al lui există, acesta este unic. Coeficientul termenului de cel mai înalt grad din polinom trebuie să fie 1, iar coeficienții rămași ar putea fi de tip numere întregi, numere raționale, numere reale sau de alte tipuri.

Formal, un polinom minimal este definit în raport cu o extindere de corp E/F, ca element al extinderii de corp E. Polinomul minimal al unui element, dacă există, este un membru al F[x], , având variabila x și coeficienți în F. Având în vedere un element din E, fie mulțimea tuturor polinoamelor f(x) în F[x] astfel încât Elementul se numește rădăcină sau zero al fiecărui polinom din . Mulțimea este un ideal al F[x]. Polinomul zero, ai cărui coeficienți sunt 0, este în fiecare deoarece pentru orice și . Acest lucru face ca polinomul zero să fie inutil pentru clasificarea diferitelor valori ale în tipuri, deci este exceptat. Dacă există polinoame diferite de zero în , atunci se numește element algebric peste F, și există un polinom monic de cel mai mic grad în . Acesta este polinomul minimal al în raport cu E/F. Este unic și ireductibil peste F. Dacă polinomul zero este singurul membru al , atunci se numește element transcendent peste F și nu are polinom minimal în E/F.

Polinoamele minimale se folosesc la construirea și analiza extinderilor de corp. Când este algebric cu un polinom minimal a(x), cel mai mic corp care conține atât F, cât și este izomorf cu inelul factor F[x]/⟨a(x)⟩, unde ⟨a(x)⟩ este idealul lui F[x] generat de a(x). Polinoamele minimale sunt, de asemenea, utilizate pentru a defini elementele conjugate.

Definiție Fie E/F o extindere de corp, un element din E, și F[x] inelul polinoamelor în x peste F. Elementul are un polinom minimal atunci când este algebric peste F, adică când pentru un polinom diferit de zero f(x) în F[x]. Apoi, polinomul minimal al este definit ca polinomul monic de cel mai mic grad dintre toate polinoamele din F[x] având ca rădăcină .

Unicitate Fie a(x) polinomul minimal al lui în raport cu E/F. Unicitatea lui a(x) se stabilește luând în considerare sub din F[x] pe E care înlocuiește cu x, adică sub<sub>(f(x)) = f(). Nucleul sub, Ker(sub), este mulțimea tuturor polinoamelor din F[x] care au ca rădăcină . Adică, Ker(sub) = J de mai sus. Deoarece sub este un omomorfism de inele, Ker(sub) este un ideal al lui F[x]. Deoarece F[x] este un inel principal ori de câte ori F este un corp, există cel puțin un polinom în Ker(sub) care generează Ker(sub). Un astfel de polinom va avea cel mai mic grad dintre toate polinoamele diferite de zero din Ker(sub), iar a(x) este considerat ca fiind polinom monic unic printre acestea.

Unicitatea polinomului monic Se presupune că p și q sunt polinoame monice în J de grad minim n > 0. Deoarece p – q ∈ J și grad(p – q) < n rezultă că p – q = 0, adică p = q.

Proprietăți Un polinom minimal este ireductibil. Fie E/F o extindere de corp peste F ca mai sus, ∈ E și f ∈ F[x] un polinom minimal pentru . Se presupune că f = gh, unde g, h ∈ F[x] sunt de grad mai mic decât f. Acum f(α) = 0. Deoarece corpurile sunt, de asemenea, domenii de integritate, g(α) = 0 sau h(α) = 0. Acest lucru contrazice minimalitatea gradului lui f. Ca urmare, polinoamele minimale sunt ireductibile.

Exemple Polinomul minimal al unei extinderi de corp Galois Fiind dată o polinomul minimal al oricărui nu în poate fi calculat prin dacă nu are stabilizatori în acțiunea Galois. Deoarece este ireductibil, lucru care poate fi dedus privind rădăcinile , este polinomul minimal. De reținut că același tip de formulă poate fi găsită prin înlocuirea cu unde este grupul de stabilizare al . De exemplu, dacă atunci stabilizatorul său este , deoarece este polinomul său minimal.

Extinderi de corp pătratice Q() Dacă F = Q, E = R, α = , polinomul minimal pentru este a(x) = x2 − 2. Corpul de bază F este important deoarece determină posibilitățile pentru coeficienții lui a(x). De exemplu, dacă se ia F = R, atunci polinomul minimal pentru = este a(x) = x − .

Q() În general, pentru extinderea pătratică liberă de pătrate , calculul polinomului minimal al unui element poate fi făcut folosind teoria lui Galois. Atunci în particular aste implică și . Acestea pot fi folosite pentru a determina cu o serie de relații folosind aritmetica modulară.

Extinderi de corp bipătratice Dacă = + , atunci polinomul minimal în Q[x] este a(x) = x4 − 10x2 + 1 = (x − − )(x + − )(x − + )(x + + ).

De notat că dacă atunci acțiunea Galois pe stabilizează . Prin urmare, polinomul minimal poate fi obținut folosind grupul de coeficienți .

Rădăcini ale unității Polinoamele minimale din Q[x] ale rădăcinilor unității sunt .

Polinoame Swinnerton–Dyer Polinomul minimal din Q[x] al sumei rădăcinilor pătrate ale primelor n numere prime este construit în mod analog și se numește polinom Swinnerton–Dyer.

Bibliografie

Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273.

Categorie:Polinoame Categorie:Teoria corpurilor