thumb|Funcția x2 cu domeniul nu are inversă. Dacă se restricționează x2 la numerele reale nenegative, atunci ea are inversă, cunoscută drept rădăcina pătrată a lui x. În matematică o restricție a unei funcții este o funcție nouă, notată sau , obținută prin alegerea unui domeniu de definiție mai mic, A, din cel al funcției .

Definiția formală Fie o funcție pe mulțimea cu valori în mulțimea . Dacă mulțimea este o submulțime a mulțimii , atunci restricția lui la este funcția

dată de f|A(x) = f(x) pentru x din A. Informal, restricția lui la este aceeași funcție , dar este definită numai pe .

Dacă funcția este înțeleasă ca o pe produsul cartezian , atunci restricția lui la poate fi reprezentată de graficul său unde perechile sunt perechi ordonate în graficul .

Exemple Restricția unei funcții neinjective la domeniul este injecția . Funcția factorial este restricția funcției gamma la întregii pozitivi, cu argumentul micșorat cu 1:

Proprietăți ale restricțiilor Restricția unei funcții la întregul său domeniu este funcția inițială, adică . Restricționarea de două ori este aceeași cu restricționarea o singură dată, adică dacă , atunci . Restricționarea funcției identitate pe mulțimea X la o submulțime A din X este tocmai funcția de incluziune din A în X. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (Paperback edition). Restricția unei funcții continue este continuă.

Aplicații Funcții inverse

Pentru ca o funcție să aibă inversă, aceasta trebuie să fie injectivă. Dacă o funcție nu este injectivă, poate fi posibil să se definească o inversă parțială a lui prin restricționarea domeniului. De exemplu, funcția

definită pe tot nu este una injectivă deoarece x2 = (−x)2 pentru orice x din . Totuși, funcția devine injectivă dacă se restricționează la domeniul (v. imaginea de sus) în care caz

(Dacă se restricționează la domeniul atunci inversa este minus rădăcinia pătrată a lui .) Alternativ, nu este nevoie de restricționarea domeniului dacă se permite ca inversa să fie o .

Fascicule oferă o modalitate de generalizare a restricțiilor obiectelor în afară de funcții.

În teoria fasciculelor se atribuie un obiect dintr-o categorie fiecărei mulțimi deschise dintr-un spațiu topologic și se cere ca obiectele să îndeplinească anumite condiții. Cea mai importantă condiție este existența restricțiilor de morfisme între fiecare pereche de obiecte asociate mulțimilor deschise imbricate; adică dacă , atunci există un morfism resV,U : F(U) → F(V) care satisface următoarele proprietăți, care sunt concepute pentru a imita restricția unei funcții: Pentru orice mulțime deschisă U din X, restricția de morfism resU,U : F(U) → F(U) este morfismul identic pe F(U). Dacă există trei mulțimi deschise , atunci . (Localizare) Dacă (Ui) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă s,t ∈ F(U) sunt astfel încât s|Ui = t|Ui pentru orice mulțime Ui a acoperirii, atunci s = t; și (Lipire) dacă (Ui) este o acoperire deschisă a mulțimii deschise U, și dacă pentru orice i o secțiune este dată astfel încât pentru fiecare pereche Ui,Uj din mulțimile de acoperire restricțiile si și sj pot forma suprapunerea: si|Ui∩Uj = sj|Ui∩Uj, atunci există o secțiune astfel încât s|Ui = si pentru orice i.

Colecția tuturor acestor obiecte se numește fascicul. Dacă numai primele două proprietăți sunt satisfăcute, este un prefascicul.

Restricții la stânga și la dreapta Mai general, restricția (sau restricția domeniului sau restricția la stânga) a unei relații binare între și poate fi definită ca o relație având domeniul , codomeniul și graficul . Similar, se poate defini restricția la dreapta sau restricția codomeniului . Într-adevăr, s-ar putea defini o restricție la relații -are, precum și la submulțimi înțelese ca relații, cum ar fi cele ale pentru relații binare.

Antirestricții Antirestricția domeniului (sau scăderea domeniului) unei funcții sau relații binare (cu domeniul și codomeniul ) cu mulțimea poate fi definită ca ; ea înlătură toate elementele lui din domeniul . Uneori este notată  ⩤ . Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006) Similar, antirestricția codomeniului (sau scăderea codomeniului) unei funcții sau relații binare cu mulțimea este definită drept ; ea înlătură toate elementele lui din codomeniul . Uneori este notată  ⩥ .

Note

Categorie:Teoria fasciculelor