thumb|Primii zece termeni ai progresiei armonice În matematică o progresie armonică este un șir ai cărui termeni sunt inverșii termenilor unei progresii aritmetice.

Echivalent, un șir este o progresie armonică când fiecare termen (cu excepția capetelor) este media armonică a termenilor vecini. De aici vine și denumirea progresiei.

O a treia caracterizare echivalentă este un șir infinit de forma

unde a este nenul iar −a/d nu este un număr natural sau un șir finit de forma

unde a este nenul, k este un număr natural iar −a/d nu este un număr natural sau este mai mare decât k.

Exemple 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, uneori numit șirul armonic 12, 6, 4, 3, , 2, … , , … 30, −30, −10, −6, − , … , 10, 30, −30, −10, −6, − , … ,

Suma progresiilor armonice Suma progresiilor armonice infinite tinde la infinit. Diferența între suma progresiei inverșilor primelor n numere naturale și logaritmul natural al sumei primilor n termeni ai progresiei este însă o valoare finită, constanta Euler-Mascheroni.

Nu este posibil ca suma unei progresii armonice de fracții cu numărătorul 1 (altul decât cazul banal în care a = 1 și k = 0) să fie un număr întreg. Motivul este că, în mod necesar, cel puțin un numitor al progresiei este divizibil cu un număr prim care nu divide niciun alt numitor. . Citat de

Utilizarea în geometrie Dacă punctele coliniare A, B, C și D sunt astfel încât D este conjugatul armonic al lui C față de A și B, atunci distanțele de la oricare dintre aceste puncte la cele trei puncte rămase formează o progresie armonică. Richard Townsend (1865), Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II, p. 24 John Alexander Third (1898), Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise p. 44 În particular, oricare din șirurile AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB și DA, DC, DB sunt progresii armonice, unde fiecare dintre distanțe este definită de orientarea fixă a liniei (nu neapărat dreaptă, distanțele măsurându-se pe linie).

Într-un triunghi, dacă înălțimile sunt în progresie aritmetică, atunci laturile sunt în progresie armonică.

Note explicative

Note

Bibliografie Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst (2007), Mastering Technical Mathematics, p. 221 Chemical Rubber Company (1974), Standard mathematical tables, p. 102 Webster Wells (1897), Essentials of algebra for secondary schools, p. 307

Vezi și Progresie aritmetică Progresie geometrică

Categorie:Serii matematice Categorie:Șiruri și serii Categorie:Medii