În matematică un polinom Laurent (numit după Pierre Alphonse Laurent) într-o variabilă pe un corp este o combinație liniară de puteri pozitive și negative ale variabilei cu coeficienți în Polinoamele Laurent din formează un inel notat cu Ele diferă de polinoamele obișnuite prin faptul că pot avea termeni de grad negativ. Construcția polinoamelor Laurent poate fi repetată, conducând la inelul polinoamelor Laurent cu mai multe variabile. Polinoamele Laurent sunt de o importanță deosebită în studiul funcțiilor de mai multe variabile complexe.
Definiție Un polinom Laurent cu coeficienți într-un corp este o expresie de forma
unde este o variabilă formală, indicele de însumare este un număr întreg (nu neapărat pozitiv) și doar un număr finit de coeficienți k sunt diferiți de zero. Două polinoame Laurent sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali. Astfel de expresii pot fi adunate, înmulțite și readuse la aceeași formă prin reducerea termenilor similari. Formulele pentru adunare și înmulțire sunt exact aceleași ca și la polinoamele obișnuite, cu singura diferență că atât puterile pozitive, cât și cele negative ale lui pot fi prezente:
și
Deoarece doar un număr finit de coeficienți i și j sunt diferiți de zero, toate sumele efective au doar un număr finit de termeni, prin urmare sunt polinoame Laurent.
Proprietăți Un polinom Laurent peste poate fi privit ca o în care doar un număr finit de coeficienți sunt diferiti de zero. Inelul polinoamelor Laurent [ −1] este o extindere a [] obținut prin „inversarea lui ”. Mai riguros, este localizarea inelului de polinoame în mulțimea multiplicativă formată din puterile nenegative ale lui . Multe proprietăți ale inelului de polinoame Laurent decurg din proprietățile generale de localizare. Inelul polinoamelor Laurent este un subinel al funcțiilor raționale. Inelul polinoamelor Laurent peste un corp este un inel noetherian (dar nu un inel artinian). Dacă este un domeniu de integritate, unitățile inelului de polinoame Laurent [ −1] au forma k, unde este o unitate a lui și k este un număr întreg. În special, dacă este un corp, atunci unitățile lui [ −1] au forma k, unde este un element diferit de zero al lui . Inelul de polinoame Laurent [ −1] este izomorf cu inelul grupului al întregilor peste R. Mai general, inelul polinom Laurent de n variabile este izomorf cu inelul grupului abelian liber de rangul n. Rezultă că inelul de polinoame Laurent poate fi dotat cu structura comutativă, cocomutativă.
Note
Bibliografie Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, , MR 1878556
Categorie:Algebră abstractă Categorie:Polinoame Categorie:Teoria inelelor