În matematică un polinom () cu coeficienți peste un corp este separabil dacă rădăcinile sale sunt distincte într-o închidere algebrică a , adică numărul de rădăcini distincte este egal cu gradul polinomului. Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, , Zbl 0848.13001, pp. 240-241
Acest concept este strâns legat de cel de polinom liber de pătrate. Dacă este un corp perfect, atunci cele două concepte coincid. În general, () este separabil dacă și numai dacă este un polinom liber de pătrate peste orice corp care conține , care este valabil dacă și numai dacă () este coprim față de derivata sa ().
Vechea definiție Într-o definiție mai veche () era considerat separabil dacă fiecare dintre factorii săi ireductibili din [] este separabil conform definiției moderne.N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233 În această definiție separabilitatea depindea de corpul , de exemplu, orice polinom peste un corp perfect ar fi fost considerat separabil. Această definiție, deși poate fi convenabilă pentru teoria lui Galois, nu mai este în uz.
Extensii de corp separabile Polinoamele separabile sunt folosite pentru a defini : o extensie de corp este o extensie separabilă dacă și numai dacă pentru fiecare , care este algebric peste , polinomul minimal al lui peste este un polinom separabil.
Extensiile inseparabile (adică extensiile care nu sunt separabile) pot apărea numai în caracteristica .
Criteriul de mai sus duce imediat la concluzia că dacă este ireductibil și nu separabil, atunci () = 0. Prin urmare
pentru un polinom peste , unde numărul prim este caracteristica.
Exemplu:
fiind corpul funcțiilor raționale în nedeterminata peste câmpul finit cu elemente . Aici se poate demonstra direct că () este ireductibil și neseparabil. Acesta este de fapt un exemplu tipic în ce constă inseparabilitatea. În termeni geometrici reprezintă aplicarea pe dreapta proiectivă peste corpul finit, luând coordonatele la puterea . Astfel de aplicări sunt fundamentale pentru geometria algebrică a corpurilor finite. Cu alte cuvinte, există acoperiri în acel cadru care nu pot fi „văzute” de teoria Galois.
Dacă este extensia de corp
cu alte cuvinte, dacă este al lui , atunci este un exemplu de extensie de corp pur inseparabilă. Este de gradul , dar în afară de identitate nu are un automorfism care fixează deoarece 1/p este rădăcina unică a lui . Acest lucru arată în mod direct că teoria Galois trebuie să se destrame aici. Un corp astfel încât să nu existe astfel de extensii se numește perfect. Că corpurile finite sunt perfecte rezultă a posteriori din structura lor cunoscută.
Se poate arăta că produsul tensorial de corpuri al cu el însuși peste pentru acest exemplu are elemente nilpotente care sunt diferite de zero. Aceasta este o altă manifestare a inseparabilității: adică, operația produsului tensorial pe corpuri nu trebuie să producă un inel care este un produs de corpuri (deci, nu un inel semisimplu comutativ).
Dacă () este separabil, iar rădăcinile sale formează un grup (un subgrup al corpului ), atunci () este un polinom aditiv.
Aplicații în teeoria lui Galois Polinoamele separabile apar frecvent în teoria lui Galois.
De exemplu, fie un polinom ireductibil cu coeficienți întregi și un număr prim care nu divide coeficientul principal al lui . Fie polinomul peste corpul finit cu elemente , care se obține prin reducerea modulo a coeficienților lui . Atunci, dacă este separabil (ceea ce este cazul pentru orice , dar finit), atunci gradele factorilor ireductibili ai lui sunt lungimile permutărilor ciclice ale al lui .
Alt exemplu: fiind ca mai sus, un rezolvant pentru un grup , este un polinom ai cărui coeficienți sunt polinoame cu coeficienții lui , care oferă unele informații despre grupul Galois al lui . Mai precis, dacă este separabil și are o rădăcină rațională, atunci grupul Galois al lui este conținut în . De exemplu, dacă este lui , atunci este o soluție pentru grupul altern. Acest rezolvant este întotdeauna separabil (presupunând că caracteristica nu este 2) dacă este ireductibil, dar majoritatea rezolvanților nu sunt întotdeauna separabili.
Note
Categorie:Polinoame Categorie:Teoria corpurilor