thumb|Evoluta parabolei (cu albastru) este locul geometric al centrelor de curbură ale sale (cu roșu) thumb|Evoluta acestei elipse este anvelopa normalelor la ea În geometria diferențială a curbelor, evoluta unei curbe este locul geometric al tuturor centrelor de curbură. Adică, atunci când se trasează centrul de curbură al fiecărui punct de pe o curbă, forma rezultată va fi evoluta acelei curbe. Prin urmare, evoluta unui cerc este un singur punct, centrul său. Echivalent, o evolută este anvelopa normalelor la o curbă.
Evolutele sunt strâns legate de evolvente: o curbă este evoluta oricărei evolvente a sa.
Istoric Apoloniu din Perga (c. 200 î.Hr.) a discutat despre evolute în Cartea a V-a din Koniká (Conice). Totuși, Christiaan Huygens este uneori considerat că a fost primul care le-a studiat (1673). Huygens și-a formulat teoria evolutelor cândva în jurul anului 1659 pentru a ajuta la rezolvarea problemei găsirii curbei tautocrone, care, la rândul ei, l-a ajutat să construiască un pendul izocron. Acest lucru se datorează faptului că curba tautocronă este o cicloidă, iar cicloida are proprietatea unică că evoluta sa este și ea o cicloidă. Teoria evolutelor i-a permis lui Huygens să obțină multe rezultate care vor fi găsite ulterior folosind calculul infinitezimal.
Evoluta unei curbe parametrice Dacă este reprezentarea parametrică a unei curbe regulate în plan cu curbura nenulă peste tot, cu raza de curbură și versorul normal îndreptată spre centrul de curbură, atunci
descrie evoluta curbei date.
Pentru și se obține
și .
Proprietățile evolutei thumb|Normala în punctul este tangenta în centrul de curbură Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească al curbei date ca parametru, din cauza și (v. formulele Frenet–Serret). Prin urmare, vectorul tangent al evolutei este:
Din această ecuație se obțin următoarele proprietăți ale evolutei: În punctele cu evoluta este neregulată. Asta înseamnă că în punctele cu curbură maximă sau minimă (vârfuri ale curbei date) evoluta are puncte de întoarcere. (V. sus evoluta unei elipse.) Pentru orice arc al evolutei care nu are un punct de întoarcere lungimea arcului este egală cu diferența dintre razele de curbură de la capetele sale. Acest fapt duce la o demonstrație ușoară a privind imbricarea cercurilor osculatoare. Normalele curbei date în puncte de curbură diferită de zero sunt tangente la evolută, iar normalele curbei în punctele de curbură zero sunt asimptote ale evolutei. Prin urmare: evoluta este anvelopa normalelor curbei date. La secțiunile curbei cu sau , curba este o evolventă a evolutei sale. (În imagine: parabola albastră este o evolventă a parabolei roșii semicubice, care este evoluta parabolei albastre.) Curbele paralele au aceeași evolută.
Exemple Evoluta unei parabole Pentru parabola cu reprezentarea parametrică din formulele de mai sus se obțin ecuațiile:
care reprezintă o parabolă semicubică.
thumb|Evoluta (cu roșu a) unei elipse Evoluta unei elipse Pentru elipsa cu reprezentarea parametrică se obține: R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.
Acestea sunt ecuațiile unei astroide nesimetrice. Eliminarea parametrului duce la reprezentarea implicită
thumb|O cicloidă (cu albastru), cercul său osculator (cu roșu) și evoluta sa (cu verde) Evoluta unei cicloide Pentru cicloida cu reprezentarea parametrică evoluta va fi:
care este o copie a ei însăși.
Note
Bibliografie
Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff Evolute on 2d curves.
Categorie:Rulete (curbe) Categorie:Geometrie diferențială