În geometria euclidiană rectificarea, cunoscută și sub denumirea de trunchiere completă, este procesul de trunchiere a unui politop prin marcarea punctelor de mijloc ale tuturor laturilor și tăierea vârfurile în acele puncte. Politopul rezultat va fi mărginit de fațete de forma figurii vârfului și fațetele rectificate ale politopului inițial.
Un operator de rectificare este uneori notat cu litera înaintea simbolilui Schläfli. De exemplu, este cubul rectificat, numit și cuboctaedru, notat și prin . Iar un cuboctaedru rectificat {4,3} este un rombicuboctaedru, notat și prin .
Notația Conway a poliedrelor folosește pentru acest operator notația (ambo). În teoria grafurilor această operație creează un graf medial.
Rectificarea oricărui poliedru regulat sau pavare autoduale va avea ca rezultat un alt poliedru sau pavare de ordinul 4 regulate, de exemplu tetraedrul devenind un octaedru Ca un caz particular, printr-o operație de rectificare o pavare pătrată se va transforma într-o altă pavare pătrată .
Exemple de rectificare ca trunchiere finală la o latură thumb|390px|Trunchieri ale cubului dincolo de rectificare Rectificarea este punctul final al unui proces de trunchiere. De exemplu, pe un cub această secvență arată patru pași ai unui continuum de trunchieri între forma regulată și cea rectificată: 400px| cubtrunchiat1/4trunchiatuniformtrunchiat3/4rectificat
Exemple de birectificare ca trunchiere finală la o față Imaginea de alături arată un cub birectificat ca secvență finală de la un cub la dualul său, în care fețele originale sunt trunchiate la un singur punct.
La poligoane Dualul unui poligon are același formă ca și poligonul rectificat. Noile vârfuri sunt plasate în centrul laturilor poligonului inițial.
La poliedre și pavări plane Oricare poliedru platonic și dualul său au același poliedru rectificat. (Acest lucru nu este valabil pentru politopurile din dimensiuni superioare.)
Poliedrul rectificat se dovedește a fi exprimabil ca intersecție a poliedrului platonic inițial cu o versiune concentrică la scară adecvată a dualului său. Din acest motiv numele său este o combinație a numelui poliedrului inițial și al dualului său:
Tetraedrul rectificat, al cărui dual este tot tetraedrul, este tetratetraedrul, mai bine cunoscut sub numele de octaedru. Octaedrul rectificat, al cărui dual este cubul, este cuboctaedrul. Icosaedrul rectificat, al cărui dual este dodecaedrul, este icosidodecaedrul. O pavare pătrată rectificată este tot o pavare pătrată. O pavare triunghiulară sau pavare hexagonală rectificate sunt o pavare trihexagonală.
Exemple FamiliaInițialRectificatDual[p,q][3,3]75pxTetraedru75pxOctaedru75pxTetraedru[4,3]75pxCub75pxCuboctaedru75pxOctaedru[5,3]75pxDodecaedru75pxIcosidodecaedru75pxIcosaedru[6,3]75pxPavare hexagonală75pxPavare trihexagonală75pxPavare triunghiulară[7,3]75pxPavare heptagonală de ordinul 375pxPavare triheptagonală75pxPavare triunghiulară de ordinul 7[4,4]75pxPavare pătrată75pxPavare pătrată75pxPavare pătrată[5,4]75pxPavare pentagonală de ordinul 475pxPavare tetrapentagonală75pxPavare pătrată de ordinul 5
La poliedre neregulate Dacă un poliedru nu este unul regulat, punctele din mijlocul laturilor care înconjoară un vârf pot să nu fie coplanare. Totuși, și în acest caz este încă posibilă o formă de rectificare: fiecare poliedru are un graf poliedric ca 1-schelet, iar din acel graf se poate forma graful medial prin plasarea unui vârf (nod) în fiecare punct de mijloc al grafului inițial și conectând două dintre aceste noi noduri printr-o muchie ori de câte ori aparțin muchiilor consecutive de-a lungul unei fețe comune. Graful medial rezultat rămâne poliedric, deci prin poate fi reprezentat ca un poliedru.
Notația Conway a poliedrelor echivalentă cu rectificarea este ambo, cu simbolul . Aplicarea de două ori, a operației (rectificarea unei rectificări), este operația de expandare a lui Conway, , care pentru poliedre și pavări regulate este aceeași cu cea de cantelare a lui Johnson, t0,2.
Rectificări în dimensiuni superioare Rectificarea în dimensiuni superioare poate fi efectuată pe politopuri regulate din dimensiuni superioare. Cel mai înalt grad de rectificare creează un politop dual. O rectificare trunchiază laturile la puncte. O birectificare trunchiază fețele la puncte. O trirectificare trunchiază celulele la puncte și așa mai departe.
La 4-politopuri și teselări cu faguri tridimensionali Orice 4-politop regulat convex are o formă rectificată ca 4-politop uniform.
Un 4-politop regulat {p,q,r} are celule {p,q}. Rectificarea sa va avea două tipuri de celule, un poliedru {p,q} rectificat rămas din celulele inițiale și un poliedru {q,r} ca celule noi formate la fiecare vârf trunchiat. Totuși, un {p,q,r} rectificat nu este același lucru cu un {r,q,p} rectificat. O altă trunchiere, numită bitrunchiere, este simetrică între un 4-politop și dualul său.
Exemple: FamiliaInițialRectificatBirectificat(Dual rectificat)Trirectificat(Dual)[p,q,r]{p,q,r}r{p,q,r}2r{p,q,r}3r{p,q,r}[3,3,3]120px5-celule 120px5-celule rectificat120px5-celule rectificat120px5-celule [4,3,3]150pxtesseract150pxtesseract rectificat150px16-celule rectificat(24-celule)150px16-celule[3,4,3]150px24-celule150px24-celule rectificat150px24-celule rectificat150px24-celule[5,3,3]150px120-celule150px120-celule rectificat150px600-celule rectificat150px600-celule[4,3,4]150pxFagure cubic150pxFagure cubic rectificat150pxFagure cubic rectificat150pxFagure cubic[5,3,4]150pxDodecaedric de ordinul 4150pxDodecaedric de ordinul 4 rectificat150pxCubic de ordinul 5 rectificat150pxCubic de ordinul 5
Grade de rectificare O primă rectificare trunchiază laturile la puncte. Dacă un politop este regulat, această formă este notată cu un simbol Schläfli extins, t1{p,q,... } sau r{p,q,...}.
O a doua rectificare, sau birectificare trunchiază fețele la puncte. Dacă este regulată, notația sa este t2{p,q,...} sau 2r{p,q,...}. La poliedre o birectificare creează un poliedru dual.
Rectificările de grad mai înalt pot fi construite pentru politopuri din dimensiuni superioare. În general, o n-rectificare trunchiază n-fețele la puncte.
Dacă un n-politop este (n−1)-rectificat, fațetele sunt reduse la puncte și politopul devine dualul său.
Notații și fațete Există diferite notații echivalente pentru fiecare grad de rectificare. Aceste tabele arată numele după dimensiune și cele două tipuri de fațete pentru fiecare.
Poligoane regulate Fațetele sunt laturi, notate prin {2}. Nume{p}Diagramă Coxetert-notațieSimbol SchläfliSimbol Schläfli verticalNumeFațetă-1Fațetă-2Inițialt0{p} {p} {2}Rectificat(Dual)t1{p} {p} {2}
Poliedre uniforme și pavări uniforme Fațetele sunt poligoane regulate. name{p,q}Diagramă Coxetert-notațieSimbol SchläfliSimbol Schläfli verticalNumeFațetă-1Fațetă-2Inițial = t0{p,q} {p,q} {p}Rectificat(Dual rectificat) = t1{p,q} r{p,q} = {p} {q}Birectificat(Dual) = t2{p,q} {q,p} {q}
4-politopuri regulate și faguri regulați Fațetele sunt poliedre regulate sau rectificate. Nume{p,q,r}Diagramă Coxetert-notațieSimbol SchläfliSimbol Schläfli extinsNumeFațetă-1Fațetă-2Inițialt0{p,q,r} {p,q,r} {p,q}Rectificatt1{p,q,r} = r{p,q,r} = r{p,q} {q,r}Birectificat(Dual rectificat)t2{p,q,r} = r{r,q,p} {q,r} = r{q,r}Trirectificat(Dual)t3{p,q,r} {r,q,p} {r,q}
5-politopuri regulate și 4-faguri regulați Fațetele sunt 4-politopuri regulate sau rectificate. Nume{p,q,r,s}Diagramă Coxetert-notațieSimbol SchläfliSimbol Schläfli extinsNumeFațetă-1Fațetă-2Inițialt0{p,q,r,s} {p,q,r,s} {p,q,r}Rectificatt1{p,q,r,s} = r{p,q,r,s} = r{p,q,r}{q,r,s}Birectificat(Dual birectificat)t2{p,q,r,s} = 2r{p,q,r,s} = r{r,q,p} = r{q,r,s}Trirectificat(Dual rectificat)t3{p,q,r,s} = r{s,r,q,p}{r,q,p} = r{s,r,q}Cvadrirectificat(Dual)t4{p,q,r,s} {s,r,q,p} {s,r,q}
Note
Bibliografie Coxeter, H.S.M., Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation) Norman Johnson, Uniform Polytopes, Manuscript (1991) Norman Johnson, The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, (Chapter 26)
Legături externe
Categorie:Politopuri Categorie:Teselări