thumb|330px| Cele patru cicluri hexagonale au inversiunea (nodul negru de deasupra) în comun. Hexagoanele sunt simetrice, deci de exemplu 3 și 4 sunt în același ciclu. Simetria octaedrică este cea a octaedrului regulat, care are 24 de simetrii de rotație (care conservă orientarea) și 48 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o reflexie și o rotație. Un cub are același set de simetrii, deoarece este dualul octaedrului.
Grupul de simetrii care conservă orientarea este S4, sau grupul de permutări a patru obiecte, deoarece există exact o astfel de simetrie pentru fiecare permutare a patru diagonale mari ale cubului.
Detalii Simetria octaedrică chirală, respectiv completă (sau achirală) sunt simetrii de puncte discrete (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari grupuri de simetrie compatibile cu simetria de translație. Ele se numără printre grupurile de puncte cristalografice ale sistemului cristalin cubic. + Elemente din OInversiuni ale elementelor din Oidentitate0inversiune0'3 × rotație de 180° în jurul axei cu 4 poziții7, 16, 233 × reflexie în planul perpendicular pe o axă cu 4 poziții7', 16', 23'8 × rotație de 120° în jurul axei cu 3 poziții3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 208 × rotație improprie de 60°3', 4', 8', 11', 12', 15', 19', 20'6 × rotație de 180° în jurul axei cu 2 poziții1', 2', 5', 6', 14', 21'6 × reflexie în planul perpendicular pe o axă cu 2 poziții1, 2, 5, 6, 14, 216 × rotație de 90° în jurul axei cu 4 poziții9', 10', 13', 17', 18', 22'6 × rotație improprie de 90°9, 10, 13, 17, 18, 22
Exemple 160px 160px 160px 160px 160px 160px 160px 160px 160px 160px
Ca de dimensiunea 3, grupul octaedric complet este ,și un natural modalitatea de a-și identifica elementele este ca perechi cu și .Dar fiindcă este și , se pot identifica elementele subgrupului tetraedric Td ca și inversiunile lor ca .
Deci de exemplu identitatea este reprezentată ca iar inversiunea ca . este reprezentat ca iar ca .
O rotație improprie este o compunere de rotație și reflexie. Ilustrări de rotații improprii
Simetrie octaedrică chirală O, 432 sau [4,3]+ de ordinul 24, este simetrie octaedrică chirală sau simetrie octaedrică de rotație. Acest grup este la fel cu cel al simetriei tetraedrice chirale T, dar axele C2 sunt acum axe C4 și, în plus, există 6 axe C2, prin punctele de mijloc ale laturilor (muchiilor) cubului. Td și O sunt izomorfe ca grupuri abstracte: ambele corespund lui S4, grupul simetric de 4 obiecte. Td este reuniunea lui T cu mulțimea obținută prin compunerea fiecărui element al lui O \ T cu inversiunea. O este grupul de rotație al cubului și al octaedrului. Axe de rotațieC412pxC312pxC212px346 + Simetrie octaedrică chiralăProiecție ortogonală Proiecție stereograficăcu 2 pozițiicu 4 pozițiicu 3 pozițiicu 2 poziții150px150px150px150px
Simetrie octaedrică completă (achirală) Oh, *432, [4,3], sau m3m de ordinul 48 - simetrie octaedrică completă (sau simetrie octaedrică achirală). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și O, dar cu planele de oglindire atât ale lui Td, cât și ale lui Th. Acest grup este izomorf cu S4·C2 și este grupul de simetrie completă al cubului și octaedrului. Este pentru n = 3.
Cu axele cu 4 poziții ca axe de coordonate, un domeniu fundamental al lui Oh este dat de 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Un obiect cu această simetrie este caracterizat de partea obiectului din domeniul fundamental, de exemplu cubul este dat de z = 1, iar octaedrul de x + y + z = 1 (sau inegalitățile corespunzătoare, pentru a obține poliedrul în loc de suprafața sa). ax + by + cz = 1 dă un poliedru cu 48 de fețe, de exemplu dodecaedrul disdyakis.
Cele 9 drepte de oglindire ale simetriei octaedrice complete pot fi împărțite în două subgrupuri de 3 și 6 (trasate cu violet și roșu), reprezentând două subsimetrii ortogonale: D2h și Td. Simetria D2h poate fi dublată la D4h prin restaurarea a 2 oglinzi dintr-una din cele trei orientări.
Simetrie octaedrică și subgrupuri de reflexieProiecțieortogonalăProiecție stereograficăcu 4 pozițiicu 3 pozițiicu 2 pozițiiOh, [4,3], , simetrie octaedrică completă (3+6 oglindiri)100px100px100px100pxTd, [3,3]=[1+,4,3], = , subgrupul tetraedric (6 oglindiri)100px100px100px100pxC3v, , , subgrupul diedral (3 oglindiri)100px100px100px100pxProiecțieortogonalăProiecție stereograficăcu 4 pozițiicu 3 pozițiicu 2 pozițiiD4h, [4,2], subgrupul diedral (1+2+2 oglindiri)100px100px100px100pxD2h, [2,2]=[4,3*], = subgrupul diedral (1+1+1 oglindiri)100px100px100px100pxC4v, , , subgrupul diedral (2+2 oglindiri)100px100px100px100px
Matrici de rotație Fie mulțimea tuturor matricilor permutare 3×3 la care se atribuie un semn + sau − fiecăruia dintre cei trei 1. Există permutări și combinații de semne pentru un total de 48 de matrici, dând grupul octaedric complet. 24 dintre aceste matrici au determinantul +1; Acestea sunt matricile de rotație ale grupului octaedric chiral. Celelalte 24 de matrici au determinantul −1 și corespund unei reflexii sau inversiuni.
Pentru simetria octaedrică sunt necesare trei generatori de reflexii, care reprezintă cele trei oglinzi ale unei diagrame Coxeter–Dynkin. Produsul reflexiilor produce 3 generatori de rotații. + [4,3], ReflexiiRotațiiRotație improprieGeneratori R0 R1 R2 R0R1 R1R2 R0R2 R0R1R2Grup Ordin2224326Matrice
Subgrupuri cu simetrie octaedrică completă SchoenfliesCoxeterOrbifoldHerm.–Maug.StructurăCiclicOrdinIndexOh [4,3] *432mm S4×S2481Td [3,3] *332 3m S440px24 2D4h [2,4] *224 4/mmm D2×D825px16 3D2h [2,2] *222 mmm D23=D2×D425px8 6C4v *44 4mm D825px8 6C3v *33 3m D6=S325px6 8C2v *22 mm2 D22=D425px4 12Cs=C1v [ ] * or m D225px2 24Th [3+,4] 3*2 m A4×S240px24 2C4h [4+,2] 4* 4/m Z4×D225px8 6D3d [2+,6] 2*3 m D12=Z2×D625px12 4D2d [2+,4] 2*2 2m D825px8 6 C2h = D1d [2+,2] 2* 2/m Z2×D225px4 12S6 [2+,6+] 3× Z6=Z2×Z325px6 8S4 [2+,4+] 2× Z425px4 12S2 [2+,2+] × S225px2 24 O [4,3]+ 432 432 S440px24 2T [3,3]+ 332 23 A425px12 4D4 [2,4]+ 224 422 D825px8 6D3 [2,3]+ 223 322 D6=S325px6 8D2 [2,2]+ 222 222 D4=Z2225px4 12C4 + 44 4 Z425px4 12C3 + 33 3 Z3=A325px3 16C2 + 22 2 Z225px2 24 C1 [ ]+ 11 1 Z125px1 48
480pxSubrupuri octaedrice în notația CoxeterJohn Conway, The Symmetries of Things, Fig 20.8, p280
thumb|left|600px|Subgrupuri ordonate într-o diagramă Hasse
Izometriile cubului thumb|right|Cele 48 de elemente de simetrie (poziții simetrice) ale cubului Cubul are 48 de izometrii (elemente de simetrie), formând grupul de simetrie Oh, izomorf cu S4 × Z2. Ele pot fi clasificate după cum urmează: O (identitatea și 23 de rotații proprii) cu următoarele (în paranteze sunt date permutările diagonalelor cubului și ): identitatea (identitate; 1) rotație în jurul unei axe de la centrul unei fețe la centrul feței opuse cu un unghi de 90°: 3 axe, 2 poziții per axă, în total 6 ((1 2 3 4) etc.; ((1 ± i) / etc.) la fel cu un unghi de 180°: 3 axe, 1 poziție per axă, în total 3 ((1 2) (3 4) etc.; i, j, k) rotație în jurul unei axe de la centrul unei muchii până la centrul muchiei opuse cu un unghi de 180°: 6 axe, 1 poziție per axă, în total 6 ((1 2) etc.; ((i ± j) / etc.) rotație în jurul unei diagonale mari cu un unghi de rotație de 120°: 4 axe, 2 poziții per axă, în total 8 ((1 2 3) etc.; (1 ± i ± j ± k) / 2) Același lucru cu inversiune (x este aplicat pe −x) (de asemenea, 24 de izometrii). De reținut că rotația cu un unghi de 180° în jurul unei axe combinată cu inversiunea este doar o reflexie în planul perpendicular. Compunerea inversiunii cu rotația în jurul diagonalei mari cu un unghi de 120° este o rotație în jurul diagonalei mari cu un unghi de 60°, compusă cu reflexia în planul perpendicular (rotația în sine nu aplică cubul pe el însuși; intersecția planului de reflexie cu cubul este un hexagon regulat).
O izometrie a cubului poate fi identificată în diferite moduri: prin trei fețe adiacente date (de exemplu 1, 2 și 3 pe un zar); prin imaginea unui cub cu un marcaj nesimetric pe o singură față: fața cu marcajul, fie că este normală sau o reflexie, și orientarea; printr-o permutare a celor patru diagonale ale corpului (este posibilă oricare dintre cele 24 de permutări), compusă sau nu cu o inversiune.
Pentru cuburile colorate sau marcate (cum ar fi zarurile), grupul de simetrie este un subgrup al Oh.
Exemple: C4v, , (*422): dacă o față are o culoare diferită (sau două fețe opuse au culori diferite una de cealaltă și față de celelalte patru), cubul are 8 izometrii, așa cum are un pătrat în spațiul bidimensional. D2h, [2,2], (*222): dacă fețele opuse au aceleași culori, diferite pentru fiecare set de două, cubul are 8 izometrii, ca un paralelipiped. D4h, [4,2], (*422): dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 16 izometrii, ca o prismă pătrată. C2v, , (*22): dacă două fețe adiacente au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 4 izometrii. dacă trei fețe, dintre care două opuse au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 4 izometrii. dacă două fețe opuse au aceeași culoare și alte două fețe opuse de asemenea, iar ultimele două au culori diferite, cubul are 4 izometrii. Cs, [ ], (*): dacă două fețe adiacente au culori diferite, iar celelalte patru au o a treia culoare, cubul are 2 izometrii. dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au culori diferite, cubul are 2 izometrii. C3v, , (*33): dacă trei fețe, dintre care niciuna opusa față de alta, au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 6 izometrii.
Pentru unele subgrupuri mai mari, un cub cu acel grup ca grup de simetrie nu este posibil doar cu colorarea fețelor (o culoare pe întreaga față). Este necesară desenarea unui model pe fețe.
Exemple: D2d, [2+,4], (2*2): dacă pe o față există un segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, iar pe fața opusă este un segment orientat perpendicular pe primul, cubul are 8 izometrii; există un plan de simetrie și o simetrie de rotație în două poziții cu o axă la un unghi de 45° față de acel plan și, ca urmare, există și un alt plan de simetrie, perpendicular pe primul, și o altă axă de simetrie de rotație cu două poziții, perpendiculară pe prima. Th, [3+,4], (3*2): dacă pe fiecare față există segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, astfel încât segmentele de pe fețele adiacente nu se întâlnesc pe laturi (muchii), cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și aceleași permutări compuse cu inversiunea (x este aplicat pe −x). Td, [3,3], (*332): dacă cubul este format din opt cuburi mai mici, patru albe și patru negre, puse alternativ în toate cele trei direcții standard, cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și inversările celorlalte rotații (proprii). T, [3,3]+, (332): dacă fiecare față are același model cu simetrie de rotație de două ori, să spunem litera S, astfel încât pe toate laturile un vârf al unui S întâlnește o laterală a altui S, cubul are 12 izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului.
Simetria completă a cubului, Oh, [4,3], (*432), este conservată dacă și numai dacă toate fețele au același model astfel încât să conserve simetria completă a pătratului, acesta având grupul de simetrie, Dih4, , de ordinul 8.
Simetria completă a cubului sub rotații proprii, O, [4,3]+, (432), este conservată dacă și numai dacă toate fețele au același model cu , Z4, +.
Simetria octaedrică a suprafeței Bolza În teoria , , numită uneori curba Bolza, este obținută ca acoperire dublă ramificată a sferei Riemann, cu locul de ramificare la setul de vârfuri ale octaedrului regulat înscris. Grupul său de automorfism include involuția hipereliptică care inversează cele două straturi ale acoperirii. Involuția hipereliptică dă tocmai grupul de simetrii al octaedrului.
Poliedre cu simetrie octaedrică chirală
Clasă Nume Imagine Fețe Laturi Vârfuri Numele dualului ImaginePoliedru arhimedic(Poliedru Catalan)cub snub 60px 38 60 24icositetraedru pentagonal60px
Poliedre cu simetrie octaedrică completă