În geometrie icosaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic cu 32 de fețe regulate (12 pentagoane și 20 de hexagoane), 90 de laturi și 60 de vârfuri. Dacă nu se specifică altfel, toate laturile sale au aceeași lungime. Este singurul poliedru uniform cu fețe care nu sunt triunghiuri sau pătrate. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, icosaedrul trunchiat este un zonoedru.
Poliedrul său dual este dodecaedrul pentakis.
Are indicele de poliedru uniform U25, indicele Coxeter C27 și indicele Wenninger W9. Este poliedrul Goldberg GPV(1,1) sau {5+,3}1,1.
Poate tesela spațiul hiperbolic sub forma fagurelui dodecaedric bitrunchiat de ordinul 5
Geometria sa este folosită la mingile de fotbal, realizate de obicei cu hexagoane albe și pentagoane negre. De asemenea, domurile geodezice au geometrii similare.
Construcție și dimensiuni thumb|left|Icosaedru thumb|Dual, dodecaedrul pentakis Acest poliedru poate fi construit dintr-un icosaedru prin trunchierea celor 12 vârfuri astfel încât din fiecare latură să fie tăiată câte o treime, la ambele capete. Acest lucru creează 12 fețe noi pentagonale și transformă cele 20 de fețe triunghiulare inițiale în hexagoane regulate. Astfel lungimea laturilor este de o treime din cea a laturilor inițiale. În plus, forma are 1440 de diagonale.
Coordonate carteziene Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui icosaedru trunchiat cu lungimea laturilor de 2 sunt permutările a: (0, ±1, ±3φ) (±1, ±(2 + φ), ±2φ) (±φ, ±2, ±(2φ + 1)) unde φ = este secțiunea de aur. Raza circumscrisă este ≈ 4,956
Dimensiuni thumb|Dreptunghiuri reciproc ortogonale cu laturile în raportul de aur desenate în icosaedru Dacă lungimea laturii icosaedrului trunchiat este a, raza unei sfere circumscrise (una care atinge icosaedrul trunchiat în toate vârfurile) este:
Acest rezultat este ușor de obținut folosind unul dintre cele trei dreptunghiuri ortogonale desenate în icosaedru (v. figura alăturată) ca punct de plecare. Unghiul dintre segmentele care unesc centrul și vârfurile conectate printr-o latură comună (calculat pe baza acestei construcții) este de aproximativ 23,281446°.
Aria și volumul Aria A și volumul V al icosaedrului trunchiat cu lungimea laturii a sunt:
Proiecții ortogonale Icosaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale particulare, centrate: pe un vârf, pe două tipuri de muchii și pe două tipuri de fețe: hexagonale și pentagonale. Ultimele două corespund planelor Coxeter A2 și H2 + Proiecții ortogonaleCentrată peVârfLatură5-6Latură6-6FațăhexagonFațăpentagonImagine120px120px120pxCadru de sârmă120px120px120px120px120pxSimetrieproiectivăDual120px120px120px120px120px
Pavări sferice 160px160pxcentrată pe pentagon160pxcentrată pe hexagonProiecții ortogonaleProiecții stereografice Icosaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, conservând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.
Poliedre și pavări înrudite
Aceste poliedre stelate uniforme și o stelare icosaedrică au anvelopa convexă de icosaedre trunchiate neuniforme: + Poliedre stelate uniforme cu anvelopa convexă de icosaedru trunchiat 3 5 264pxU732 ( )64pxStelarea completă 3 2 3 3 3 3
Note
Bibliografie Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., . (Section 3-9)
Vezi și Lista poliedrelor uniforme
Legături externe
Editable printable net of a truncated icosahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra "Virtual Reality Polyhedra"—The Encyclopedia of Polyhedra
Cheie: ti
Categorie:Poliedre arhimedice Categorie:Poliedre Goldberg Categorie:Pavări trunchiate Categorie:Zonoedre