În geometrie dodecaedrul snub este un poliedru arhimedic. Are 92 de fețe, din care 20+60 triunghiuri echilaterale și 12 pentagonale, 60 de vârfuri și 150 de laturi.
Este un poliedru chiral, adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă compusul de două dodecaedre snub, iar anvelopa convexă al ambelor seturi de vârfuri este un icosidodecaedru trunchiat.
Are indicele de poliedru uniform U29, indicele Coxeter C32 și indicele Wenninger W18.
Johannes Kepler l-a denumit inițial în în lucrarea sa Harmonices Mundi din 1619. H.S.M. Coxeter a remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cu simbolul Schläfli extins vertical și simbolul Schläfli sr{5,3}.
Coordonate carteziene Fie ξ ≈ 0,94315125924 rădăcina reală a polinomului de gradul al treilea , unde φ este secțiunea de aur. Fie punctul p dat de . Fie M1 și M2 date de
și
M1 reprezintă rotația în sens trigonometric cu unghiul în jurul axei (0,1,φ), iar M2 reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (x,y,z). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctului p în urma înmulțirii repetate cu M1 și/sau M2 Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1, φ, ξ, φξ, ξ2 și φξ2. Lungimea laturii este
Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.
Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este
Raza sferei mediane este ξ. Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a numărului ξ. Cele 20 de triunghiuri icosaedrice ale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedru circumscris este egală cu 1. Aceasta înseamnă că ξ este raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.
Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este
Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este
Dimensiuni metrice Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1, aria sa este
Volumul său este
Raza sferei circumscrise este
Raza sferei mediane este
Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:
și
Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36 (unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947. P. K. Aravind, How Spherical Are the Archimedean Solids and Their Duals?, The College Mathematics Journal, Vol. 42, No. 2 (March 2011), pp. 98–107
Proiecții ortogonale thumb|Dodecaedrul snub nu are simetrie față de centru, ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate
Dodecaedrul snub are două proiecții ortogonale, centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A2 și H2, și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare. + Proiecții ortogonale CentratăpeFațatriunghiFațapentagonLatură CorpCadru de sârmăSimetrieproiectivă+Dual Relații geometrice
Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului, deplasându-le spre exterior. La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obține rombicosidodecaedrul. Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.
Dodecaedrul snub poate fi derivat și din icosidodecaedrul trunchiat prin procesul de alternare. 60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este tranzitiv pe vârfuri dar nu este uniform.
Poliedre înrudite Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări snub cu configurațiile vârfului (3.3.3.3.n.) și diagrama Coxeter–Dynkin . Aceste figuri și dualele lor au simetrie de rotație (n32) în notația orbifold, existând în planul euclidian pentru n = 6, iar în planul hiperbolic pentru orice n mai mare. Se poate considera că familia începe cu n = 2, care are fețele degenerate în digoane.
Note
Bibliografie
Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., . (Section 3-9)
Vezi și Lista poliedrelor uniforme
Legături externe
Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra Mark S. Adams and Menno T. Kosters. Volume Solutions to the Snub Dodecahedron
Cheie: snid
Categorie:Poliedre arhimedice Categorie:Poliedre chirale Categorie:Pavări snub