În geometrie un grup poliedric este oricare din grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice.
Grupuri Există trei grupuri poliedrice: Grupul tetraedric de ordinul 12, grupul de simetrie rotațională al tetraedrului regulat. Este izomorf cu A4. ale T sunt: identitatea 4 × rotație cu 120° în sens trigonometric, ordin 3 4 × rotație cu 120° în sens orar, ordin 3 3 × rotație cu 180°, ordin 2 Grupul octaedric de ordinul 24, grupul de simetrie rotațională al cubului și octaedrului regulat. Este izomorf cu S4. Clasele de conjugare ale O sunt: identitatea 6 × rotație cu ±90° în jurul vârfurilor, ordin 4 8 × rotație cu ±120° în jurul centrelor triunghiurilor, ordin 3 3 × rotație cu 180° în jurul vârfurilor, ordin 2 6 × rotație cu 180° în jurul mijloacelor laturilor, ordin 2 Grupul icosaedric de ordinul 60, grupul de simetrie rotațională al dodecaedrului regulat și al icosaedrului regulat. Este izomorf cu A5. Clasele de conjugare ale I sunt: identitatea 12 × rotație cu ±72°, ordin 5 12 × rotație cu ±144°, ordin 5 20 × rotație cu ±120°, ordin 3 15 × rotație cu 180°, ordin 2
Aceste simetrii se dublează la 24, 48, respectiv 120 pentru grupurile de reflexie complete. Simetriile de reflexie au 6, 9 și respectiv 15 plane de oglindire. Simetria octaedrică, [4,3] poate fi văzută ca reunirea a 6 plane de oglindire de simetrie tetraedrică [3,3] și a 3 plane de oglindire de simetrie diedrală Dih2, [2,2 ]. Simetria piritoedrică este o altă dublare a simetriei tetraedrice.
Clasele de conjugare ale simetriei tetraedrice complete, Td≅S4, sunt: identitatea 8 × rotație cu 120° 3 × rotație cu 180° 6 × reflexie în plan față de două axe 6 × rotație improprie cu 90°
Clasele de conjugare ale simetriei piritoedrice, Th, le cuprind pe cele ale lui T, cu cele două clase de 4 combinate și fiecare cu inversare: identitatea 8 × rotație cu 120° 3 × rotație cu 180° inversiunea 8 × rotație improprie cu 60° 3 × reflexie în plan
Clasele de conjugare ale grupului octaedric complet, Oh≅S4 × C2, sunt: inversiunea 6 × rotație improprie cu 90° 8 × rotație improprie cu 60° 3 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 4 poziții 6 × reflexie în plan perpendicular pe o axă, cu 2 poziții
Clasele de conjugare ale grupului icosaedric complet, Ih≅A5 × C2, sunt: inversiunea 12 × rotație improprie cu 108°, ordin 10 12 × rotație improprie cu 36°, ordin 10 20 × rotație improprie cu 60°, ordin 6 15 × reflexie, ordin 2
Grupuri poliedrice chirale + Grupuri poliedrice chiraleNume(Orb.)NotațiaCoxeterOrdinStructurăabstractăPuncte derotație#valențăDiagrameOrtogonalStereograficT(332) [3,3]+ 12A443 32Th(3*2) [4,3+] 24A4×2 433*2O(432) [4,3]+ 24S4 344362I(532) [5,3]+ 60A565103152
Grupuri poliedrice complete + Grupuri poliedrice completeWeylSchoe.(Orb.)NotațiaCoxeterOrdinStructurăabstractăNumărCoxeter(h)Oglinzi(m)Diagrame ale oglindirilorOrtogonalStereograficA3Td(*332) [3,3] 24 S4 4 6B3Oh(*432) [4,3] 48 S4×28 36H3Ih(*532) [5,3] 120 A5×210 15
Bibliografie Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)
Legături externe
Categorie:Simetrie Categorie:Poliedre Categorie:Teoria grupurilor