În geometria diferențială o geodezică închisă pe o este o geodezică care se întoarce la punctul său de pornire având aceeași direcție a tangentei. Poate fi formalizată ca proiecția unei orbite închise a fluxului geodezic în al varietății.
Definiție Într-o varietate riemanniană (), o geodezică închisă este o curbă care este o geodezică în metrica și este periodică.
Geodezicele închise pot fi caracterizate prin intermediul unui principiu variațional. Notând cu spațiul curbelor netede 1-periodice pe , geodezicele închise din perioada 1 sunt tocmai ale funcției de energie , definită de
Dacă este o geodezică închisă a perioadei , curba reparametrizată este o geodezică închisă a perioadei 1 și, prin urmare, este un punct critic al lui . Dacă este un punct critic al lui , la fel sunt curbele reparametrizate pentru fiecare definit de Astfel, fiecare geodezică închisă pe dă naștere la o succesiune infinită de puncte critice ale energiei .
Exemple Pe sfera unitate cu metrica riemanniană rotundă standard, fiecare cerc mare este un exemplu de geodezică închisă. Astfel, pe sferă toate geodezicele sunt închise. Pe o suprafață netedă echivalentă topologic cu sfera, acest lucru poate să nu fie adevărat, dar există întotdeauna cel puțin trei geodezice închise simple; aceasta este teorema celor trei geodezice. Varietăți ale căror geodezice sunt închise au fost investigate amănunțit în literatura de specialitate. Pe o hiperbolică compactă, al cărei grup fundamental nu are , geodezicele închise sunt în corespondență biunivocă cu netriviale de elemente din al suprafeței.
Note
Bibliografie
Arthur Besse, „Manifolds all of whose geodesics are closed”, Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978
Categorie:Geometrie diferențială Categorie:Geodezice (matematică)