thumb|La înmulțirea matricilor, numărul de coloane din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii din a doua matrice. Matricea rezultată are numărul de linii ale primei matrice și numărul de coloane ale celei de-a doua matrice. În matematică, în special în algebra liniară, înmulțirea matricilor sau înmulțirea matricialăAnca Ignat, Calcul numeric (curs 2, 2022, p. 2), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-06-13 este o operație binară care produce o matrice din două matrici. La înmulțirea matricială, numărul de coloane din prima matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii din a doua matrice. Matricea rezultată, cunoscută sub numele de produs matricial, are numărul de linii ale primei matrice și numărul de coloane ale celei de-a doua matrice. Produsul matricilor și este notat .
Înmulțirea matricială a fost descrisă pentru prima dată de matematicianul francez Jacques Philippe Marie Binet în 1812, pentru a reprezenta de transformări liniare care sunt reprezentate cu ajutorul matricilor. Astfel, înmulțirea matricială a devenit un instrument de bază al algebrei liniare și, ca atare, are numeroase aplicații în multe domenii ale matematicii, precum și în matematica aplicată, statistică, fizică, economie și inginerie. Calculul produselor matriciale este o operație centrală în toate aplicațiile algebrei liniare.
Notație În acest articol convențiile privind notațiile sunt următoarele: matricile sunt reprezentate prin litere majuscule grase (bold), de exemplu ; vectorii cu litere minuscule grase, de exemplu ; iar elementele vectorilor și matricilor cu italice, de exemplu sau . Notația indexată este adesea cel mai clar mod de a exprima definițiile și este notația standard folosit în literatura de specialitate. Linia din matrice este indicată de indicele , iar coloana de indicele . Elementul matricei este indicat prin , sau . Prin excepție, un singur indice, de exemplu , se folosește pentru a indica o matrice (nu un element al unei matrice) dintr-o colecție de matrici.
Definiție Dacă este o matrice iar este o matrice ,
Produsul matricial (notat fără punct sau semnul înmulțirii) este definit ca fiind matricea
asfel încât
pentru și .
Adică elementul al produsului se obține prin înmulțirea termen cu termen a elementelor din linia a matricei cu cele din coloana a matricei și sumând aceste produse. Altfel spus, este produsul scalar al liniei a matricei cu coloana a matricei .
Prin urmare poate fi scris și ca
Astfel produsul este definit dacă și numai dacă numărul de coloane din este egal cu numărul de linii din , în acest caz .
În majoritatea cazurilor elementele matricilor sunt numere, dar pot fi orice fel de obiecte matematice pentru care sunt definite o adunare și o înmulțire, care sunt asociative, adunarea să fie comutativă, iar înmulțirea să fie distributivă în raport cu adunarea. În particular, elementele pot fi ele înseși matrici.
Ilustrare thumb|Prezentare vizuală a calculului termenilor produsului matricial Figura din dreapta ilustrează schematic produsul a două matrice și , arătând cum fiecare intersecție din matricea produsului corespunde cu o linie din și o coloană din .
Valorile de la intersecții, marcate cu cercuri în figura din dreapta, sunt:
Principalele aplicații Istoric, înmulțirea matricilor a fost introdusă pentru a facilita și clarifica calculele din algebra liniară. Această relație strânsă între înmulțirea matricilor și algebra liniară rămâne fundamentală în toate ramurile matematicii, precum și în fizică, chimie, inginerie și informatică.
Aplicații liniare Dacă un spațiu vectorial are o bază finită, orice vector este reprezentat în mod unic printr-un șir finit de scalari, numit componentele vectorului, ale cărui elemente sunt coordonatele vectorului în acea bază. Aceste componente formează un alt spațiu vectorial, care este izomorf cu spațiul vectorial inițial. Componentele vectorului sunt plasate de obicei într-o matrice coloană (numită și vector coloană), care este o matrice cu o singură coloană. Deci, un vector coloană reprezintă atât componentele vectorului, cât și un vector din spațiului vectorial inițial.
O aplicație liniară dintr-un spațiu vectorial de dimensiune într-un spațiu vectorial de dimensiune aplică un vector coloană
pe vectorul coloană
Aplicația liniară este astfel definită de matricea
și aplică vectorul coloană pe produsul matricial
Dacă este o altă aplicație liniară din spațiul vectorial precedent de dimensiunea , într-un spațiu vectorial de dimensiunea , este reprezentată printr-o matrice (). Un calcul simplu arată că matricea compunerii este produsul matricial Formula generală care definește funcția compusă este prezentată aici ca un caz particular de asociativitate al produsului matricial:
Rotațiile geometrice Folosind un sistem de coordonate carteziene într-un plan euclidian, rotația cu un unghi în jurul originii este o aplicație liniară. Mai exact,
unde punctul inițial și imaginea sa sunt scrise ca vectori coloană.
Compunerea rotației cu unghiul și cea cu unghiul corespunde apoi cu produsul matricial
în care membrul drept al ultimei identități conține identitățile trigonometrice pentru sinusul și cosinusul sumei și diferenței unghiurilor, compunerea corespunde rotației cu unghiul , cum era de așteptat.
Alocarea resurselor în economie thumb|400px|Calculul elementului din stânga jos a corespunde luării în considerare a tuturor căilor (evidențiate) de la materia primă la produsul final în graful fluxului de producție De exemplu, o fabrică fictivă folosește 4 tipuri de materii prime, pentru a produce 3 tipuri de bunuri intermediare , , care la rândul lor sunt folosite pentru a produce 3 tipuri de produse finite, . Matricile și furnizează cantitatea de materii prime necesare pentru o anumită cantitate de bunuri intermediare și, respectiv, cantitatea de bunuri intermediare necesară pentru o anumită cantitate de produse finite. De exemplu, pentru a produce o unitate de bun intermediar , sunt necesare o unitate de materie primă , două unități de , nicio unitate de și o unitate de , corespunzătoare primei coloane din .
Folosind înmulțirea matricilor se calculează
această matrice indică direct cantitățile de materii prime necesare pentru cantități date de produse finite. De exemplu, intrarea din stânga jos a este calculată ca fiind , reflectând faptul că pentru a produce o unitate de sunt necesare unități de . Efectiv, este necesară o unitate de pentru , 2 pentru și pentru fiecare dintre cele două unități care intră în unitatea , vezi imaginea.
Pentru a produce de exemplu 100 de unități din produsul final , 80 de unități de și 60 de unități de , cantitățile necesare de materii prime pot fi calculate prin
adică unități de , unități de , unități de și unități de . Similar, matricea produsului poate fi utilizată pentru a calcula cantitățile necesare de materii prime pentru alte date privind cantitățile de produse finale. Here: Exm. 5.4.10, pp. 205–206
Sisteme de ecuații liniare Forma generală a unui sistem de ecuații liniare este:
Folosind aceeași notație ca mai sus, un astfel de sistem este echivalent cu o singură ecuație matricială:
Produsul scalar, forma biliniară și sesquiliniară Produsul scalar al doi vectori coloană este elementul unic al produsului matricial
unde este vectorul linie obținut prin transpunerea . (De obicei o matrice 1×1 este identificată prin unicul său element.)
În general, orice formă biliniară pe un spațiu vectorial de dimensiune finită poate fi exprimată ca produs matricial:
și orice altă poate fi exprimată prin
unde este adjuncta lui (transpusa conjugată).
Proprietăți generale Înmulțirea matricială are unele proprietăți asemănătoare cu înmulțirea obișnuită. Totuși, înmulțirea matricială nu este definită dacă numărul de coloane al primului factor diferă de numărul de linii al celui de-al doilea factor și este necomutativă, chiar și când produsul rămâne definit după schimbarea ordinii factorilor.
Necomutativitatea O operație este comutativă dacă, fiind date două elemente și astfel încât produsul este definit, atunci este definit și
Înmulțirea matricială a două matrici și al căror produs matricial este definit, ar fi comutativă dacă produsul este și el definit, iar
Dacă și sunt matrici de dimensiunile respectiv , atunci este definit dacă , iar este definit dacă . Prin urmare, dacă unul dintre produse este definit, celălalt ar trebui să fie nedefinit. Dacă , cele două produse sunt definite, dar au dimensiuni diferite; astfel că ele nu pot fi egale. Doar dacă , adică dacă și sunt ambele pătrate, de aceeași dimensiune, ambele produse sunt definite și au aceeași dimensiune. Chiar și în acest caz, în general
De exemplu
dar
Acest exemplu poate fi extins pentru a arăta că dacă este o matrice cu elementele într-un corp , atunci pentru orice matrice cu elementele din dacă și numai dacă unde și este matricea unitate . Dacă, în loc de un corp, se presupune că elementele aparțin unui inel, atunci trebuie adăugată condiția ca să aparțină centrului inelului.
Un caz particular în care comutativitatea apare este atunci când și sunt două matrici diagonale pătrate de aceeași mărime. Atunci . Din nou, dacă matricile sunt peste un inel generic în loc de a fi peste un corp, elementele corespunzătoare ale fiecăreia trebuie, de asemenea, să fie comutative unul față de celălalt pentru ca acest lucru să fie valabil.
Distributivitatea Produsul matricial este distributiv față de adunarea matricilor. Adică dacă sunt matrici de dimensiunile respective , , , și , există atât distributivitatea la stânga
cât și la dreapta
Aceasta rezultă din distributivitatea coeficienților
Asociativitatea Fiind date matricile și , produsele și sunt definite dacă și numai dacă numărul de coloane din este egal cu numărul de linii din și numărul de coloane din este egal cu numărul de linii din (în special, dacă unul dintre produse este definit, atunci celălalt este și el definit). În acest caz există asociativitatea
Ca la orice operație asociativă, aceasta permite omiterea parantezelor și scrierea produselor de mai sus ca
Aceasta se extinde natural la produsul a oricâte matrici, cu condiția ca dimensiunile să se potrivească. Adică dacă sunt matrici astfel încât numărul de coloane ale este egal numărul de linii ale pentru , atunci produsul
este definit și nu depinde de ordinea în care se fac înmulțirile, cât timp ordinea matricilor este păstrată fixă.
Aceste proprietăți pot fi demonstrate prin operații de adunare simple, dar lungi. Acest rezultat rezultă și din faptul că matricile sunt aplicații liniare. Prin urmare, proprietatea asociativă a matricilor este pur și simplu un caz particular al proprietății asociative a .
Produsul cu un scalar Dacă este o matrice și un scalar, atunci matricile și se obțin înmulțind la stânga sau la dreapta toate elementele lui cu . Dacă scalarii sunt comutativi, atunci
Dacă produsul este definit (adică numărul de coloane din este egal cu numărul de linii din ), atunci și
Dacă scalarii sunt comutativi, atunci toate cele patru matrici sunt egale. În general, toate cele patru sunt egale dacă aparține centrului unui inel care conține elementele matricei, deoarece în acest caz, pentru toate matricile .
Aceste proprietăți rezultă din biliniaritatea produsului scalarilor:
Operații cu matricea transpusă Dacă scalarii sunt comutativi, transpusa produsului matricial este produsul, în ordine inversă, al transpuselor factorilor. Acesta este
unde cu T este notată transpusa.
Această identitate nu este valabilă pentru elementele necomutative, deoarece ordinea dintre elementele lui și este inversată atunci când se extinde definirea produsului matricial.
Conjugata complexă Dacă și au elemente complexe, atunci
unde cu sunt notate conjugatele complexe ale elementelor matricei.