thumb|Produsul Hadamard operează pe matrici de formă identică și produce o a treia matrice cu aceleași dimensiuni În matematică produsul HadamardMatrici (tablouri bidimensionale), Universitatea Babeș-Bolyai, 10 martie 2018, accesat 2023-04-06 sau produsul Schur ) este o operație binară pe două matrici de aceleași dimensiuni, rezultatul fiind o altă matrice de aceeași dimensiune, în care fiecare element este produsul elementelor ale celor două matrici inițiale. Este numit astfel pentru a fi distins de produsul matricial comun. Numele său vine fie de la matematicianul francez Jacques Hadamard, fie de la matematicianul german Issai Schur din Rusia.

Produsul Hadamard este asociativ și distributiv. Spre deosebire de produsul matricial, acesta este, de asemenea, comutativ.

Definiție Pentru două matrice și de aceeași dimensiune , produsul Hadamard (sau ) este o matrice de aceeași dimensiune cu cele care formează operanzii, matrice a cărei elemente sunt date de

Pentru matrici de dimensiuni diferite ( și , unde sau ), produsul Hadamard este nedefinit.

Exemplu De exemplu, produsul Hadamard pentru o matrice de 3 × 4 cu o matrice de 3 × 4 este:

Proprietăți Produsul Hadamard este comutativ (când se lucrează cu un inel comutativ), asociativ și distributiv peste adunare. Adică dacă și sunt matrici de aceeași dimensiune, iar este un scalar:

Matricea unitate pentru înmulțirea Hadamard a două matrice este o matrice cu toate elementele 1 . Aceasta este diferită de matricea unitate pentru produsul matricial obișnuit, unde doar elementele diagonalei principale sunt egale cu 1. În plus, pentru o înmulțire Hadamard o matrice are o matrice inversă dacă și numai dacă niciunul dintre elemente nu este egal cu zero. Pentru vectorii și și matricile diagonale corespunzătoare și cu acești vectori drept diagonale principale, este valabilă următoarea identitate:

unde cu este notată matricea adjunctă a lui . În particular, folosind vectori cu toate valorile 1, aceasta arată că suma tuturor elementelor din produsul Hadamard este urma lui , unde exponentul indică matricea transpusă. Un rezultat înrudit pentru și pătrate este că sumele pe linii ale produsului Hadamard sunt elementele diagonale ale lui :

Similar,

Mai mult, un produs Hadamard de matrici-vector poate fi exprimat ca:

unde este vectorul format din diagonalele matricei . Produsul Hadamard este o submatrice principală a produsului Kronecker. Produsul Hadamard satisface inegalitatea rangurilor

Dacă și sunt , atunci este valabilă următoarea inegalitate care implică produsul Hadamard: :: unde este a -lea cea mai mare valoare proprie a lui . Dacă și sunt matrici diagonale, atunci

Produsul Hadamard a doi vectori și este același cu înmulțirea matricială a unui vector cu matricea diagonală corespunzătoare a celuilalt vector:

Vectorul matricei diagonale, operatorul , poate fi exprimat prin produsul Hadamard ca:

unde este un vector constant cu toate elementele , iar este matricea unitate.

Aplicații Produsul Hadamard apare în algoritmi de , cum ar fi JPEG. Etapa de decodare implică un produs de element cu element, cu alte cuvinte produsul Hadamard.

În , operatorul Hadamard poate fi folosit pentru îmbunătățirea, suprimarea sau mascarea regiunilor imaginii. O matrice conține imaginea inițială, cealaltă acționează ca matrice de ponderare sau de mascare.

Este folosit în literatura de învățare automată, de exemplu, pentru a descrie arhitectura rețelelor neuronale recurente ca sau .

De asemenea, este folosit pentru a studia proprietățile statistice ale vectorilor și matricelor aleatorii.

Note

Categorie:Matrice Categorie:Înmulțire