În algebra liniară, produsul extern,Emil Petre, Optimizări, Cap. 1 Introducere în problematica optimizării sistemelor, (curs, 2008), Universitatea din Craiova, p. 1–11, accesat 2023-04-13, (arhivat) (sau produsul diadic) a doi vectori de coordonate este o matrice. Dacă cei doi vectori au dimensiunile n și m, atunci produsul lor exterior este o matrice n × m. Mai general, având în vedere doi tensori (matrici multidimensionale), produsul lor extern este un tensor. Produsul extern al tensorilor este denumit și al acestora și poate fi folosit pentru a defini .
Produsul extern diferă de: produsul scalar (un caz particular al produsului intern, care produce un scalar dintr-o pereche de vectori de coordonate, produsul Kronecker, care produce o matrice de blocuri dintr-o pereche de matrici, produsul matricial (standard).
Definiție Fiind dați doi vectori de dimensiunile și
produsul lor extern, notat este matricea obținută prin înmulțirea fiecărui element al cu fiecare element al :
Sau, în notație indexată:
Notând produsul scalar cu dacă se dă un vector atunci Dacă se dă un vector atunci
Dacă și sunt vectori de aceeași dimensiune mai mare decât 1, atunci
Produsul extern este echivalent cu înmulțirea matricilor cu conditia ca să fie un vector coloană iar un vector coloană (care produc vectorul linie ). De exemplu, dacă și atunci James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press,
Pentru vectori complecși este adesea util să se ia adjuncta lui denumită sau :
Deosebirea față de produsul intern euclidian Dacă atunci se poate obține produsul matricial pe altă cale, obținând un scalar (sau o matrice ):
care este produsul intern standard pentru spații vectoriale euclidiene, cunoscut mai bine sub denumirea de produs scalar. Produsul scalar este urma produsului extern. Spre deosebire de produsul scalar, produsul extern este necomutativ.
Înmulțirea unui vector cu o matrice poate fi scrisă în termenii produsului intern, folosind relația .
Produsul extern al tensorilor
Fiind dați doi tensori, cu dimensiunile și , produsul lor extern este un tensor cu dimensiunile și elementele
De exemplu, dacă este de ordinul 3 cu dimensiunile și este de ordinul 2 cu dimensiunile atunci produsul lor extern este de ordinul 5 cu dimensiunile Dacă are o componentă iar are o componentă , atunci componenta formată din produsul extern este .
Note
Lectură suplimentară
Vezi și Produs cartezian Produs vectorial Produs exterior Produs Hadamard
Categorie:Operații binare Categorie:Operatori liniari Categorie:Vectori (fizică și matematică)