În matematică spectrul unei matrice este mulțimea valorilor proprii ale matricei.Alexandru Juncu, Calculul valorilor proprii și vectorilor proprii pentru matrice nesimetrice, pub.ro, accesat 2023-04-17 În general, dacă este un operator liniar pe un spațiu vectorial finit dimensional, spectrul său este mulțimea de scalari astfel încât nu este o funcție inversabilă. Determinantul matricei este egal cu produsul valorilor sale proprii. Similar, urma matricei este egală cu suma valorilor sale proprii. Din acest punct de vedere, se poate defini pseudodeterminantul unei matrice singulare ca fiind produsul valorilor proprii diferite de zero (densitatea are nevoie de această noțiune).
Definiție Fie un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un corp și o aplicație liniară. Spectrul lui, presupus a fi că , notat , este multimulțimea rădăcinilor al lui . Astfel, elementele spectrului sunt tocmai valorile proprii ale lui , iar multiplicitatea unei valori proprii din spectru este egală cu dimensiunea a lui pentru .
Se alege o bază a lui peste și fie ∈ MatK () o matrice. Se definește aplicația liniară punctual prin , unde în partea dreaptă este interpretat ca fiind un vector coloană, iar acționează asupra lui prin înmulțire matricială. Acum se spune că este un vector propriu al lui dacă este un vector propriu al lui . Similar, este o valoare proprie a lui dacă este o valoare proprie a lui , și cu aceeași multiplicitate, iar spectrul lui , notat σM, este multimulțimea tuturor acestor valori proprii.
Notații înrudite a unei este o a unei matrice diagonalizabile într-o formă canonică specifică, prin care matricea este reprezentată în termeni de vectori și valori proprii.
a unei matrice pătrate este cea mai mare valoare absolută a valorilor sale proprii. În , raza spectrală a unui este al valorilor absolute ale elementelor din spectrul acelui operator.
Note
Bibliografie
Categorie:Matrice