În matematică o aplicație biliniară este o funcție care combină elemente a două spații vectoriale pentru a produce un element al unui al treilea spațiu vectorial și este liniară în funcție de fiecare dintre argumentele sale.Mariana Gorunescu, Diferențiabilitate, Universitatea din Craiova, accesat 2023-03-23 Un exemplu de aplicație biliniară este înmulțirea matricilor.

Definiție Spații vectoriale Fie și trei spații vectoriale peste aceeași bază, corpul . O aplicație biliniară este o funcție

Astfel încât pentru orice , aplicația

este o aplicație liniară din pe și pentru orice , aplicația

este o formă de aplicație liniară din pe Cu alte cuvinte, când se menține fix primul argument al aplicației biliniare în timp ce se permite celui de al doilea să varieze, rezultatul este un operator liniar, și la fel atunci când se menține fix al doilea argument.

O astfel de aplicație satisface următoarele proprietăți. Pentru orice , Aplicația este aditivă pentru ambele componente: dacă și atunci și

Dacă și există pentru orice atunci se spune că este simetrică. Dacă este corpul al bazei, atunci aplicația este o formă biliniară, care este binecunoscută (de exemplu: produsul scalar, produsul interior și forma pătratică).

Module Definiția funcționează fără nicio modificare dacă în loc de spații vectoriale peste un corp se folosesc peste un inel comutativ . Se generalizează la funcții -are, unde termenul potrivit este multiliniar.

Pentru inelele necomutative și , un -modul din stânga, , și un -modul din dreapta, , o aplicație biliniară este o aplicație cu un {)-bimodul și pentru care orice din , () este un homomorfism al modulului , iar pentru orice din , () este homomorf cu modulul . Acest lucru satisface

pentru toate din , din , din și din , precum și că este aditiv pentru fiecare argument.

Proprietăți O consecință imediată a definiției este că ori de câte ori sau . Acest lucru poate fi văzut scriind vectorul zero, 0V, sub forma (și similar pentru 0W) și mutarea scalarului 0 „în afară”, în fața lui .

Mulțimea tuturor aplicațiilor biliniare este un al spațiului (adică un spațiu vectorial, modul) al tuturor aplicațiilor din în X.

Dacă V, W, X sunt finite dimensional, atunci la fel este . Pentru , adică formele biliniare, dimensiunea acestui spațiu este (în timp ce spațiul din formele liniare are dimensiunea ). Pentru a vedea acest lucru, se alege o bază pentru V și W; atunci fiecare aplicație biliniară poate fi reprezentată în mod unic prin matricea și invers.

Acum, dacă X este un spațiu de dimensiune mai mare, este evident că .

Exemple Înmulțirea matricilor este o aplicație biliniară . Dacă un spațiu vectorial peste numerele reale are un spațiu prehilbertian, atunci produsul interior este o aplicație biliniară Spațiul vectorial al produsului are o singură dimensiune. În general, la un spațiu vectorial peste corpul , o formă biliniară pe este aceeași cu aplicația biliniară . Dacă are spațiu vectorial ∗, atunci operatorul aplicației este o aplicație biliniară pe corpul bazei. Fie și spații vectoriale pe bază a corpului . facă este un element al lui ∗ iar un element al lui ∗, atunci definește aplicația biliniară . Produsul vectorial din este o aplicație biliniară Fie o aplicație biliniară, iar o aplicație liniară, atunci este o aplicație biliniară pe .

Note

Bibliografie

Legături externe

Categorie:Operații binare Categorie:Forme biliniare Biliniar Biliniar