În algebra liniară o aplicație multiliniară alternată este o aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu vectorial (de exemplu, o formă biliniară sau o ) care ia valoarea zero ori de câte ori în vreo pereche de argumente acestea sunt egale. În general spațiul vectorial poate fi un peste un inel comutativ.

Noțiunea de alternare este folosită pentru a obține o aplicație multiliniară alternată din orice aplicație multiliniară cu toate argumentele aparținând aceluiași spațiu.

Definiție Fie un inel comutativ și module peste . Despre o aplicație multiliniară de forma se spune că este alternată dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente: ori de câte ori astfel încât există .Bourbaki, 2007, A III.80, §4 ori de câte ori astfel încât există Dummit, Foote, 2004, p. 436

Spații vectoriale Fie spații vectoriale peste același corp. Atunci o aplicație multiliniară de forma este una alternată dacă îndeplinește următoarea condiție: dacă sunt atunci .

Exemple Într-o , parantezele Lie indică o aplicație biliniară alternată. Determinantul unei matrice este o aplicație alternată multiliniară a liniilor sau coloanelor matricei.

Proprietăți Dacă orice componentă a unei aplicații multiliniare alternate este înlocuită cu pentru orice și în baza inelului atunci valoarea acelei aplicații nu se schimbă.

Orice aplicație multiliniară alternată este antisimetrică,Rotman, 1995, p. 235 ceea ce înseamnă că

sau echivalent,

unde este de ordinul iar este semnul lui

Dacă este o unitateîn inelul bazei, atunci orice formă -multiliniară antisimetrică este una alternată.

Alternare Fiind dată o aplicație multiliniară de forma despre aplicația multiliniară alternată definită de

se spune că este alternarea lui

Proprietăți Alternarea unei aplicații alternate -multiliniare este de ! ori pe sine însăși. Alternarea unei aplicații simetrice este zero. Alternarea unei aplicații biliniare este biliniară.

Note

Bibliografie

Vezi și Aplicație Aplicație multiliniară

Algebră multiliniară

Categorie:Funcții matematice Categorie:Relații matematice Multiliniar Multiliniar

fr:Application multilinéaire#Application alternée