right|thumb|O ilustrare schematică a unei funcții mărginite (cu roșu) și a uneia nemărginite (cu albastru). Intuitiv, graficul unei funcții mărginite rămâne într-o bandă orizontală, în timp ce graficul unei funcții nemărginite nu. În matematică o funcție reală sau complexă, definită pe o mulțime , este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real astfel încât
pentru orice .Horvat-Marc Andrei, AM2-Curs-07, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-05-14 Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.Florin Iacob Cap. III Funcții continue (curs, p. 169), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-14
Dacă are valoare reală și () ≤ pentru orice din , atunci se spune că funcția este mărginită superior de . Dacă () ≥ pentru orice din , atunci se spune că funcția este mărginită inferior de . O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.
Un caz particular important este un șir mărginit, unde este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir = (0, 1, 2, ...) este mărginit dacă există un număr real astfel încât
pentru orice număr natural .
Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile care iau valori într-un spațiu mai general prin necesitatea ca imaginea să fie o mulțime mărginită în .
Exemple Funcția sinus : este mărginită deoarece pentru orice . Funcția , definită pentru orice real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2]. Funcția , definită pentru orice real, este mărginită, deoarece pentru orice . Funcția arctangentă, definită drept: sau este monoton crescătoare pentru orice real și mărginită de radiani. Conform , orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi este mărginită. În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită. Toate funcțiile complexe care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a . În particular, funcția complexă trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă. Funcția care ia valoarea 0 pentru rațional și 1 pentru irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile și definite prin și sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită. (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.)
Note
Categorie:Analiză reală Categorie:Analiză complexă Categorie:Tipuri de funcții