În matematică (mai precis în analiza funcțională), convoluția este o operație matematică pe două funcții ( și ) care produce o a treia funcție () numită produs de convoluție care exprimă modul în care forma uneia este modificată de cealaltă. Este definită ca integrala produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Alegerea funcției care este reflectată și deplasată înainte de integrală nu modifică rezultatul integralei (vezi comutativitate). Integrala este evaluată pentru toate valorile deplasării, producând funcția de convoluție.
Unele caracteristici ale convoluției sunt similare cu corelarea încrucișată: pentru funcțiile cu valori reale, ale unei variabile continue sau discrete, convoluția () diferă de corelare încrucișată () numai prin aceea că fie fie se reflectă în jurul axei y în convoluție; deci este o corelație încrucișată între și , sau și . Pentru funcțiile cu valori complexe, operatorul de corelare încrucișată este adjunctul operatorului de convoluție.
Convoluția are domenii de aplicabilitate care includ probabilitățile, statistica, acustica, spectroscopia, procesarea semnalelor și , geofizica, ingineria, fizica, și ecuațiile diferențiale.
Convoluția poate fi definită pentru funcții din spațiul euclidian și alte grupuri (ca structuri algebrice). De exemplu, funcțiile periodice, cum ar fi , pot fi definite pe un cerc și convolutate prin . O convoluție discretă poate fi definită pentru funcții din mulțimea numerelor întregi.
Generalizările convoluției au aplicații în domeniul analizei numerice și al , precum și în proiectarea și implementarea filtrelor de în prelucrarea semnalelor.
Calculul inversului operației de convoluție este cunoscut sub numele de .
Definiție Operația de convoluție a lui și se scrie , notând operatorul cu simbolul . Este definită ca integrala produsului dintre cele două funcții după ce una este reflectată în jurul axei y și deplasată. Ca atare, ea este un tip de :
O definiție echivalentă este (vezi comutativitatea):
Mai sus se folosește simbolul , dar nu este neapărat nevoie ca variabila să reprezinte domeniul timp. În fiecare t, formula de convoluție poate fi descrisă ca aria de sub funcția ponderată de funcția deplasată cu cantitatea . Pe măsură ce se modifică, funcția de ponderare pune accentul pe diferite părți ale funcției de intrare ; Dacă este o valoare pozitivă, atunci este egal cu care alunecă sau este deplasat de-a lungul axei spre dreapta (spre ) cu cantitatea , în timp ce dacă este o valoare negativă, atunci este egal cu care alunecă sau este deplasat spre stânga (spre ) cu cantitatea .
Pentru funcțiile , cu numai pe (adică zero pentru argumente negative), limitele de integrare pot fi trunchiate, rezultând:
Pentru formularea multidimensională a convoluției, vezi domeniul de definiție (mai jos).
Notație O convenție de notație inginerească comună este:
care trebuie interpretat cu atenție pentru a evita confuzia. De exemplu, este echivalent cu , dar este de fapt echivalent cu .
Relațiile cu alte transformări Date două funcții și cu (transformată Laplace cu două părți)
și
respectiv operația de convoluție poate fi definită ca transformata Laplace inversă a produsului lui și . Mai precis,
Lăsa astfel încât
Se observă că este transformata Laplace bilaterală a lui . O derivare similară se poate face folosind transformata Laplace unilaterală.
Operația de convoluție descrie și ieșirea (în raport cu intrarea) unei clase importante de operații cunoscute sub numele de invariante liniare în timp (LTI). În ceea ce privește transformatele Fourier ale intrării și ieșirii unei operațiuni LTI, nu sunt create noi componente de frecvență. Cele existente sunt doar modificate (amplitudinea și/sau faza). Cu alte cuvinte, transformata de ieșire este produsul punctual al transformării de intrare cu o a treia transformare (cunoscută sub numele de funcție de transfer). Vezi pentru o derivare a acelei proprietăți de convoluție. În schimb, convoluția poate fi derivată ca transformată Fourier inversă a produsului pe puncte a două transformări Fourier.
Explicație vizuală Forma de undă rezultată (nu este prezentată aici) este convoluția funcțiilor și .
Dacă este un impuls unitar, rezultatul acestui proces este pur și simplu . Formal:
În acest exemplu, „imulsul” de culoare roșie este o funcție uniformă deci convoluția este echivalentă cu corelația. Un instantaneu al acestui „film” arată funcțiile și (în albastru) pentru o anumită valoare a parametrului care este definită în mod arbitrar ca distanța de-a lungul axei din punctul până la centrul impulsului roșu. Cantitatea de galben este aria produsului calculat prin integrala de convoluție/corelație. Filmul este creat prin schimbarea continuă a lui și recalcularea integralei. Rezultatul (afisat cu negru) este o functie de dar este trasat pe aceeași axă ca pentru comoditate și comparație. În această reprezentare, ar putea reprezenta răspunsul unui circuit RC la un impuls îngust care apare la Cu alte cuvinte, dacă rezultatul convoluției este doar Dar când este impulsul mai larg (în roșu), răspunsul este o versiune „rotunjită” a lui Începe la pentru că s-a definit ca distanța de la axa spre centrul impulsului larg (și nu până la marginea anterioară).
Evoluție istorică Una dintre cele mai vechi utilizări ale integralei de convoluție a apărut în calculul efectuat de către D'Alembert al în , publicată în 1754.Dominguez-Torres, p 2
De asemenea, o expresie de tipul:
este folosită de la pagina 505 a cărții sale intitulată Tratat despre diferențe și serii, care este ultimul dintre cele 3 volume ale seriei enciclopedice: , , Paris, 1797–1800.Dominguez-Torres, p 4 Curând după aceea, operația de convoluție apare în lucrările lui Pierre Simon Laplace, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson și alții. Termenul în sine a intrat în uz pe scară largă abia în anii 1950 sau 60. Înainte de aceasta, era uneori cunoscut sub numele de (care înseamnă pliere în germană), produs de compoziție, integrală de superpoziție și integrală a lui Carson. Apare încă din 1903, deși definiția este destul de necunoscută în utilizările mai vechi.
Operația:
este un caz particular al produselor de compoziție analizate de matematicianul italian Vito Volterra în 1913.Conform [Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen", Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, volumul 128, numerele 2, 6–7], sursa este Volterra, Vito (1913), „”. Gauthier-Villars, Paris 1913.
Convoluția circulară Când o funcție este periodică, cu perioadă , atunci pentru funcțiile , pentru care există , convoluția este și periodică și identică cu:
unde este ales arbitrar. Suma se numește a funcției .
Când este o sumă periodică a unei alte funcții, , atunci se numește convoluție circulară sau ciclică a lui cu .
Mai mult, dacă suma periodică de mai sus este înlocuită cu , operația se numește convoluție periodică a lui și .
Convoluție discretă
Pentru funcțiile cu valori complexe definite pe mulțimea Z a numerelor întregi, convoluția discretă a lui cu este dată de:
sau echivalent prin:
Convoluția a două șiruri finite este definită prin extinderea șirurilor la funcții cu suport finit pe mulțimea numerelor întregi. Când șirurile sunt coeficienții a două polinoame, atunci coeficienții produsului obișnuit al celor două polinoame sunt convoluția celor două șiruri inițiale. Acesta este cunoscut ca al coeficienților șirurilor.
Astfel, atunci când are suport finit în mulțimea (reprezentând, de exemplu, un ), poate fi utilizată o sumă finită:
Convoluție circulară discretă Când o funcție este periodică, cu perioadă , atunci pentru funcțiile , pentru care există , convoluția este și periodică și identică cu:
Suma după se numește a funcției .
Dacă este o sumă periodică a unei alte funcții, , atunci se numește a lui și .
Când duratele diferite de zero ale lui și sunt limitate la intervalul , se reduce la aceste forme comune:Notația ( ) pentru convoluția ciclică reprezintă convoluția peste al numerelor întregi modulo .
Convoluția circulară apare cel mai adesea în contextul convoluției rapide cu un algoritm pentru (FFT).
Algoritmi rapizi de convoluție În multe situații, convoluțiile discrete pot fi convertite în convoluții circulare, astfel încât transformările rapide care au proprietatea de convoluție să poată fi utilizate pentru a implementa calculul. De exemplu, convoluția șirurilor de cifre este operația centrală din multiplicarea numerelor cu mai multe cifre, care poate fi, prin urmare, implementată eficient cu tehnici de transformare (;).
Eq.1 necesită operațiuni aritmetice pentru fiecare valoare produsă și operații pentru valori. Această performanță poate fi redusă semnificativ cu oricare din multiplii algoritmi rapizi. În prelucrarea semnalelor digitale și în alte aplicații, algoritmii rapizi de convoluție sunt folosiți de regulă pentru a reduce costul convoluției la o complexitate de O( log ).
Cei mai obișnuiți algoritmi rapizi de convoluție folosesc algoritmi de (FFT) prin . Mai exact, a două șiruri de lungime finită se găsește luând FFT a fiecărui șir, înmulțind punctual și apoi efectuând FFT inversă. Convoluțiile de tipul definit mai sus sunt apoi implementate eficient folosind acea tehnică în combinație cu extensia zero și/sau eliminarea unor porțiuni din datele de ieșire. Alți algoritmi rapizi de convoluție, cum ar fi sau transformata Mersenne, folosesc transformări Fourier rapide în alte inele.
Dacă un șir este mult mai lung decât celălalt, extinderea zero a secvenței mai scurte și convoluția circulară rapidă nu sunt metodele cele mai eficiente din punct de vedere computațional. Descompunerea șirului mai lung în blocuri și convoluția fiecărui bloc permite algoritmi mai rapizi, cum ar fi și . O metodă de convoluție hibridă care combină algoritmii pe blocuri și permite o latență de intrare-ieșire zero, care este utilă pentru calculul convoluției în timp real.
Definiție Convoluția a două funcții cu valori complexe pe este ea însăși o funcție cu valori complexe pe , definită prin:
și este bine definită numai dacă și scad suficient de rapid la infinit pentru ca integrala să existe. Condițiile de existență a convoluției pot fi problematice, deoarece o explozie a lui la infinit poate fi ușor compensată printr-o scădere suficient de rapidă în . Problema existenței poate implica astfel diferite condiții pentru și :
Funcții cu suport compact Dacă și sunt funcții continue cu , atunci produsul lor de convoluție lor există și are și el suport compact și este continuu . Mai general, dacă oricare dintre funcții (să zicem ) are suport compact și cealaltă este , atunci produsul de convoluție este bine definit și continuu.
Produsul de convoluție între și este bine definit și atunci când ambele funcții sunt local integrabile la pătrat pe și cu suport pe un interval de forma (sau ambele cu suport pe ).
Funcții integrabile Produsul de convoluție al lui și există dacă și sunt ambele în (), iar în acest caz este și ea integrabilă . Aceasta este o consecință a . Aceasta este valabilă și pentru funcțiile din , în raport cu convoluția discretă sau, mai general, pentru convoluția pe orice grup.
La fel, dacă ( ) și ( ) unde , apoi ( ), și
În cazul particular , aceasta arată că este o în raport cu operația de convoluție (și egalitatea celor două părți este valabilă dacă și sunt nenegative ).
Mai general, implică faptul că convoluția este o aplicație biliniară continuă între spații adecvate. Mai exact, dacă satisfac:
Când o funcție este periodică, cu perioadă , atunci pentru funcții, , astfel încât există, și convoluția este periodică și identică cu: