În geometria algebrică genul geometric este un invariant birațional fundamental în și .
Definiție Genul geometric poate fi definit pentru varietăți proiective complexe nesingulare și, în general, pentru varietăți complexe ca (egal cu prin dualitatea Serre) , adică dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.
Cu alte cuvinte, pentru o varietate de dimensiune complexă este numărul de -forme olomorfe liniar independente care se găsesc în . Danilov & Shokurov (1998), [ p. 53] Acestă definiție, ca dimensiune a lui
se transferă la orice corp de bază, când este considerat familia de , iar puterea este cea mai mare putere exterioară, .
Genul geometric este primul invariant 1 al unui șir de invarianți numiți inelul canonic.
Cazul curbelor În cazul varietăților complexe, (locurile geometrice complexe ale) curbelor nesingulare sunt . Definiția algebrică a genului este în acord cu noțiunea topologică. Pe o curbă nesingulară, fibratul de drepte canonic are gradul .
Noțiunea de gen apare în special în enunțul și a formulei Riemann–Hurwitz. După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de gradul d are genul geometric
unde este numărul singularităților.
Dacă este o suprafață ireductibilă (și netedă) în decupat de o ecuație polinomială de gradul , atunci fibratul dreptelor sale normale este fibratul Serre , deci fibratul de drepte canonice al este dat de
Genul varietăților singulare Definiția genului geometric este transferată clasic la curbele singulare , prin decretarea că
este genul geometric al normalizării . Adică deoarece aplicația
este , definiția este extinsă de invarianța birațională.
Note
Bibliografie
Vezi și Gen (matematică) Gen aritmetic
Categorie:Varietăți algebrice