În problema valorii inițiale,Octavian Mustafa Oscilațiile Ecuațiilor Diferențiale Ordinare , Craiova: Ed. Publicațiile DAL, 2007, p. 12Petru Străin, Contribuții la studiul unor sisteme dinamice particulare, (rezumatul tezei de doctorat , p. 34), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-07-18 sau doar problemă inițială,Eugenia Paulescu Ecuații diferențiale (curs, Cap V. Ecuații diferențiale de ordinul întâi, p. 4), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-07-17 cunoscută și drept problema Cauchy,Veronica Ilea, Matematici speciale (curs, Probleme Cauchy), Universitatea Babeș-Bolyai, accesat 2023-07-18 este o problemă referitoare la o ecuație diferențială ordinară împreună cu o condiție inițială care specifică valoarea funcției pentru un anumit argument din domeniul de definiție. Modelarea unui fenomen în fizică sau în alte științe echivalează frecvent cu rezolvarea unei probleme cu condiție inițială. În acest context ecuația diferențială specifică modul în care acesta având în vedere condițiile inițiale ale problemei.
Definiție O problemă Cauchy este o ecuație diferențială
cu unde iste o mulțime deschisă din , împreună cu un punct din domeniul
numită condiție inițială.
O soluție la o problemă Cauchy este o funcție care este o soluție a ecuației diferențiale și satisface
În dimensiuni superioare, ecuația diferențială este înlocuită cu o familie de ecuații , iar este vectorul , cel mai frecvent asociat cu poziția în spațiu. În general, funcția necunoscută poate lua valori în spații dimensionale infinite, cum ar fi spații Banach sau .
Problemele Cauchy pot fi extinse la derivatele de ordin superior tratând derivatele în același mod ca o funcție independentă, de ex. .
Existența și unicitatea soluțiilor garantează o soluție unică într-un interval care conține 0 dacă este continuă într-o regiune care conține 0 și 0 și satisface pentru variabila . Demonstrarea acestei teoreme continuă prin reformularea problemei ca o ecuație integrală echivalentă. Integrarea poate fi considerată un operator care aplică o funcție pe alta, astfel încât soluția să fie un punct fix al operatorului. Apoi, principiul contracției arată că există un punct fix unic, care corespunde soluției problemei Cauchy.
Hiroshi Okamura a obținut o condiție pentru ca rezolvarea unei probleme Cauchy să fie unică. Această condiție are legătură cu existența unei funcții Liapunov pentru problemă.
În unele situații funcția nu este o din clasa 1, sau chiar din clasa Lipschitz, deci rezultatul care garantează existența locală a unei soluții unice nu se aplică. Teorema de existență a lui Peano demonstrează totuși că și pentru continuu, soluțiile sunt garantate că există local în timp; problema este că nu există nicio garanție a unicității. Rezultatul poate fi găsit în Coddington & Levinson (1955, Teorema 1.3) sau Robinson (2001, Teorema 2.6). Un rezultat și mai general este teorema de existență a lui Carathéodory, care afirmă existența soluției în cazul unor funcții discontinue.
Exemple Un exemplu simplu este rezolvarea ecuației cu . Se caută funcția care să satisfacă aceste două ecuații.
Se rearanjează ecuația astfel încât să fie în partea stângă
Se integrează ambele părți în raport cu (aceasta introduce o constantă de integrare necunoscută ).
Se elimină logaritmul prin exponențierea ambilor membri
Fie constanta necunoscută , astfel
Acum se calculează o valoare pentru . Cu așa cum este dat la început, se înlocuiesc 0 în și 19 în
În final se obține soluția .
Al doilea exemplu Soluția ecuației
poate fi
Într-adevăr,
Note
Bibliografie
Categorie:Condiții pe frontieră
el:Αρχική τιμή it:Problema ai valori iniziali sv:Begynnelsevärdesproblem