În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

Exemple În inelul numerelor întregi fie elementele . este un divizor al lui , deoarece la cu restul sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există astfel încât . nu este un divizor al lui , deoarece la cu restul nu există nici un astfel încât .

În corpul numerelor reale , o extindere a numerelor întregi, avem încă este un divizor al lui , deoarece la există astfel încât . devine un divizor al lui , deoarece la , acesta este acum un număr real în respectiv există astfel încât .

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi avem este un divizor al lui , deoarece prin împărțirea polinomială cu restul există astfel încât . nu este un divizor al lui , deoarece la cu restul nu există nici un astfel încât . De fapt, se poate arăta că nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea nu are divizori liniari, cum ar fi .

În inelul de polinoame cu coeficienți reali , o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem încă este un divizor al lui , deoarece la există astfel încât . are divizori netriviali, explicit , deoarece la există astfel încât . De observat că tot nu este un divizor al lui , din același motiv ca la de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele și în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Definiție Fie un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și și elemente ale lui . Dacă există un element în cu , se spune că este un divizor la stânga al lui , iar acel este un multiplu la dreapta al lui .Bourbaki, p. 97 Similar, dacă există un element în cu , se spune că este un divizor la dreapta al lui , iar acel este un multiplu la stânga lui . Se spune că este un divizor al lui dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui ; variabilele și de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că este un „divizor” al lui , sau că acel este un multiplu al lui , și se scrie . Elementele și ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât cât și . Relația de asociere este o relație de echivalență pe , deci împarte în disjuncte.

Proprietăți Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu, dacă și numai dacă . Elementele și sunt asociate dacă și numai dacă . Un element este o unitate dacă și numai dacă este un divizor al fiecărui element din . Un element este o unitate dacă și numai dacă . Dacă pentru o unitate , atunci și sunt asociate. Dacă este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată. Fie un domeniu de integritate. Dacă elementele din sunt total ordonate după divizibilitate, atunci se numește . Mai sus este idealul principal al generat de elementul .

Zero ca divizor și ca divizor al lui zero Unii autori cer ca definiția divizorului să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze. Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua . Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un nenul'' astfel încât .Bourbaki, p. 98

Note

Bibliografie

Vezi și Divizor al lui zero

Categorie:Teoria inelelor