thumb|upright=1.5| a unei porțiuni din de ideale ale numerelor întregi Nodurile violet și verzi sunt ideale semiprime, cele violet sunt ideale prime, iar cele violet și albastre sunt ideale primare. În algebră un ideal primAurelian Claudiu Volf, Aritmetica în inele (curs, p. 121), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-09 este o submulțime a unui inel care are mai multe proprietăți importante asemănătoare cu cele ale numerelor prime (întregi) din inel. Idealele prime pentru numerele întregi sunt mulțimile care conțin toți multiplii unui număr prim dat, împreună cu idealul nul.
Idealele primitive sunt prime, iar idealele prime sunt atât primare, cât și semiprime.
Ideale prime pentru inele comutative Definiție Un ideal dintr-un inel comutativ este prim dacă are următoarele două proprietăți: dacă și sunt două elemente ale lui , astfel încât produsul lor este un element al lui , atunci este în sau este în ; nu este întregul inel .
Acest lucru generalizează următoarea proprietate a numerelor prime, cunoscută sub numele de : dacă este un număr prim și dacă divide un produs de două numere întregi, atunci divide pe sau pe . Deci se poate spune că un număr întreg pozitiv este un număr prim dacă și numai dacă este un ideal prim în
Exemple În inelul submulțimea numerelor pare este un ideal prim.
Fiind dat un domeniu de integritate , orice element prim generează un ideal prim . De exemplu, fie un polinom ireductibil într-un inel de polinoame peste un corp . Criteriul lui Eisenstein pentru domeniile de integritate (prin urmare și inelele factoriale) este un instrument eficient pentru a determina dacă un element dintr-un este .
Dacă este inelul polinoamelor în două variabile cu coeficienți complecși , atunci idealul generat de polinomul este un ideal prim (v. curbe eliptice).
În inelul al polinoamelor cu coeficienți întregi, idealul generat de și este un ideal prim. Este format din toate acele polinoame al căror coeficient constant este par.
În orice inel , un ideal maximal este un ideal care este maximal în mulțimea tuturor idealelor proprii al lui , adică este conținut în exact două ideale ale lui și anume însuși și întregul inel . Fiecare ideal maximal este de fapt prim. Într-un domeniu cu ideale principale fiecare ideal prim diferit de zero este maximal, dar acest lucru nu este adevărat în general. Pentru inele factoriale afirmă că orice ideal maximal este de forma
Dacă este o varietate netedă, este inelul funcțiilor reale netede pe iar este un punct din , atunci mulțimea tuturor funcțiilor netede cu formează un ideal prim (chiar un ideal maximal) din .
Exemple de ideale care nu sunt prime Fie următoarelor două inele factor
Deși primele două inele sunt domenii de integritate (de fapt primul este un inel factorial), ultimul nu este un domeniu de integritate, deoarece este cu
ceea ce arată că idealul nu este prim. (v. prima proprietate enumerată mai jos.)
Alt exemplu de ideal care nu este prim este deoarece
dar nici nici nu sunt elemente ale idealului.
Proprietăți Un ideal în inelul (cu unitate) este prim dacă și numai dacă inelul factor este un domeniu de integritate. În special, un inel comutativ (cu unitate) este un domeniu de integritate dacă și numai dacă este un ideal prim. (De reținut că inelul nul nu are ideale prime, deoarece idealul (0) este întregul inel.) Un ideal este prim dacă și numai dacă complementara sa este o mulțime închisă multiplicativ. Orice inel nenul conține cel puțin un ideal prim (de fapt conține cel puțin un ideal maximal), ceea ce este o consecință directă a teoremei lui Krull. În general, dacă este o mulțime închisă multiplicativ din , atunci o lemă datorată lui Krull arată că în există un ideal maximal care este disjunct de ; mai mult, idealul trebuie sa fie prim. Acest lucru poate fi generalizat în continuare la inele necomutative (v. mai jos).Lam, 2008, p. 156 În cazul avem teorema lui Krull, iar aceasta acoperă idealele maximale ale lui . Un alt m-sistem tipic este mulțimea, formată din toate puterile pozitive ale unui element care nu este nilpotent. Inversa imaginii unui ideal prim sub un este un ideal prim. Faptul analog nu este întotdeauna adevărat pentru idealele maximale, care este unul dintre motivele pentru care geometrii algebrici definesc ca fiind mai degrabă mulțimea idealelor sale prime decât a celor maximale; se dorește un homomorfism al inelelor pentru a avea o aplicație între spectrele lor. Mulțimea tuturor idealelor prime (numită spectrul inelului) conține elemente minimale (numite ideale prime minimale). Din punct de vedere geometric, acestea corespund unor componente ireductibile ale spectrului. Suma a două ideale prime nu este neapărat primă. De exemplu, fie inelul cu idealele prime și (idealele generate de și respectiv ). Suma lor nu este, totuși, primă: dar cei doi factori ai săi nu sunt. Alternativ, inelul factor are divizori ai lui zero, deci nu este un domeniu de integritate, prin urmare, nu poate fi prim. Nu orice ideal care nu poate fi factorizat în două ideale este un ideal prim. De exemplu, nu poate fi factorizat, dar nu este prim. Într-un inel comutativ cu cel puțin două elemente, dacă fiecare ideal propriu este prim, atunci inelul este un corp. (Dacă idealul este prim, atunci inelul este un domeniu de integritate. Dacă este un element oarecare nenul din și idealul este prim, atunci îl conține pe și atunci este inversabil.) Un ideal principal nenul este prim dacă și numai dacă este generat de un element prim. Într-un inel factorial, orice ideal prim nenul conține un element prim.
Utilizări O utilizare a idealelor prime apare în geometria algebrică, unde varietățile sunt definite ca mulțimile de zerouri ale idealelor în inele de polinoame. Rezultă că varietățile ireductibile corespund idealelor prime. În abordarea modernă abstractă, se începe cu un inel comutativ arbitrar și se transformă mulțimea idealelor sale prime, numită și spectru, într-un spațiu topologic și astfel se pot defini generalizări ale varietăților numite , care își găsesc aplicații nu numai în geometrie, ci și în teoria numerelor.
Introducerea idealelor prime în a fost un pas important înainte: s-a realizat că proprietatea importantă a factorizării unice exprimată în teorema fundamentală a aritmeticii nu este valabilă în fiecare inel al numerelor întregi algebrice, dar un substitut a fost găsit când Richard Dedekind a înlocuit elementele cu idealei și elementele prime cu idealele prime; v. .
Ideale prime pentru inele necomutative Noțiunea de ideal prim poate fi generalizată la inele necomutative folosind o definiție comutativă propusă în 1928 de Wolfgang Krull. Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, Sitzungsberichte Heidelberg. Akad. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl.,3-14. Următorul conținut poate fi găsit în lucrări precum cele ale lui GoodearlGoodearl, 2004 sau Lam.Lam, 2001 Dacă este un inel (posibil necomutativ) iar este un ideal propriu al , se poate spune că este prim dacă pentru oricare două ideale și din , dacă produsul idealelor, , este conținut în , atunci cel puțin unul dintre și este conținut în .
Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu cea comutativă în inele comutative. Este ușor de verificat că dacă un ideal al unui inel necomutativ satisface definiția comutativă pentru a fi prim, atunci el satisface și versiunea necomutativă. Un ideal care satisface definiția comutativă a pentru a fi prim este uneori numit ideal prim complet, pentru a-l distinge de alte ideale doar prime din inel. Idealele prime complete sunt ideale prime, dar reciproca nu este adevărată. De exemplu, idealul nul din inelul matricilor peste un corp este un ideal prim, dar nu este prim complet.
Acest lucru este asemănător cu punctul de vedere istoric al idealelor ca numere ideale, așa cum pentru inelul „ este conținut în " este un alt mod de a spune că „ divide ”, iar idealul unității reprezintă unitatea.
Formulările echivalente ale idealului prim au următoarele proprietăți: Pentru oricare elemente și din , implică sau . Pentru oricare două ideale la dreapta din , implică sau . Pentru oricare două ideale la stânga din , implică sau . Pentru oricare elemente și din , dacă , atunci sau .
Idealele prime din inelele comutative sunt caracterizate prin faptul că au complementare închise multiplicativ în și, cu o ușoară modificare, o caracterizare similară poate fi formulată pentru idealele prime din inelele necomutative. O submulțime vidă se numește m-sistem dacă pentru orice și din , există în , astfel încât este în . (Evident, mulțimile închise multiplicativ sunt m-sisteme.) Următoarea afirmație poate fi atunci adăugată la lista de condiții echivalente de mai sus: complementara este un m-sistem.
Exemple Orice ideal primitiv este prim. Ca și în cazul inelelor comutative, idealele maximale sunt prime și, de asemenea, idealele prime conțin ideale prime minimale. Un inel este un inel prim dacă și numai dacă idealul nul este un ideal prim și, în plus, un inel este un domeniu de integritate dacă și numai dacă idealul nul este un ideal prim complet. Un alt fapt din teoria comutativă care se regăsește în teoria necomutativă este că dacă este un - nenul, iar este un element maximal în a idealelor anulatoare ale submodulelor lui , atunci este prim.
Aspecte importante Lema de evitare a idealelor prime. Dacă este un inel comutativ și este un subinel (posibil fără unitate) iar este o colecție de ideale ale lui cu cel mult doi membri neprimi, atunci dacă nu este conținut în niciun , nu este conținut nici în reuniunea a .< ref>Jacobson, 1989, p. 390</ref> În particular, ar putea fi un ideal al lui . Dacă este un m-sistem din , atunci o lemă datorată lui Krull arată că există un ideal maximal din disjunct de și, în plus, idealul trebuie să fie prim. În cazul avem Teorema lui Krull, iar aceasta acoperă idealele maximale ale lui . Un alt m-sistem tipic este mulțimea formată din toate puterile pozitive ale unui element care nu este nilpotent. Pentru un ideal prim , complementara are o altă proprietate în plus față de a fi un m-sistem. Dacă este în , atunci atât , cât și trebuie să fie în , întrucât este un ideal. O mulțime care conține divizorii elementelor sale se numește saturată. Pentru un inel comutativ , există un fel de reciprocă pentru afirmația anterioară: dacă este orice submulțime nevidă saturată și închisă multiplicativ a lui , complementara este o reuniune a idealelor prime ale lui .Kaplansky, 1970, p. 2 Intersecția membrilor unui lanț descendent de ideale prime este un ideal prim, iar într-un inel comutativ reuniunea membrilor unui lanț ascendent de ideale prime este un ideal prim. Cu Lema lui Zorn, aceste observații implică faptul că poziția idealelor prime ale unui inel comutativ (ordonat parțial prin includere) are elemente maximale și minimale.
Conexiunea cu maximalitatea Idealele prime pot fi adesea produse ca elemente maximale ale anumitor colecții de ideale. De exemplu: Un ideal maximal în ceea ce privește intersecția vidă cu un m-sistem fix este prim. Un ideal maximal dintre anulatorii din submodulele unui -modul fix este prim. Într-un inel comutativ, un ideal maximal care nu este principal este prim.Kaplansky, 1970, p. 10, Ex 10. Într-un inel comutativ, un ideal maximal care nu este generat numărabil este prim.Kaplansky, 1970, p. 10, Ex 11.
Note
Bibliografie
Categorie:Ideale