În matematică, în special în , un ideal principal este un ideal într-un inel care este generat de un singur element din prin înmulțire cu fiecare element din Tiberiu Dumitrescu, Algebra 1 (curs, p. 67), Universitatea din București, 2006, accesat 2023-05-09 Termenul are și un alt sens, similar, în , unde se referă la un într-o generat de un singur element adică mulțimea tuturor elementelor mai mici sau egale cu din

Restul acestui articol abordează noțiunea referitoare la inele.

Definiții Un ideal principal stâng din este o submulțime din dată de pentru un element Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră, Craiova, Ed. Universitaria, 2002, , p. 163 Un ideal principal drept din este o submulțime din dată de pentru un element Un ideal principal bilateral din este o submulțime din dată de pentru un element și anume, mulțimea tuturor sumelor finite de elemente de forma

Această definiție pentru idealul principal bilateral poate părea mai complicată decât celelalte. Este necesar și ca idealul să rămână închis pentru adunare.

Dacă este un inel comutativ cu element neutru, atunci cele trei noțiuni de mai sus sunt una și aceeași. În acest caz se obișnuiește să se scrie idealul generat de drept sau

Exemple de ideale care nu sunt principale Nu toate idealele sunt principale. De exemplu fie inelul comutativ al tuturor polinoamelor cu două variabile și cu coeficienți complecși. Idealul generat de și care constă din toate polinoamele din care au zero pentru termenul constant, nu este principal. Pentru a arăta acest lucru, se presupune că a fost un generator pentru Atunci și ar fi ambele divizibile cu ceea ce este imposibil decât dacă este o constantă diferită de zero. Dar zero este singura constantă în , așa apare o .

În inelul numerele în care sunt pare formează un ideal care nu este principal. Acest ideal formează în planul complex o latice hexagonală regulată. Fie și Aceste numere sunt elemente ale acestui ideal cu aceeași normă (doi), dar pentru că singurele unități din inel sunt și nu sunt asociate.

Definiții înrudite Un inel în care orice ideal este unul principal se numește principal.Răzvan-Dinu Lițcanu, Câteva rezultate de algebră comutativă (curs de geometrie algebrică, p. 1), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-09-25 Orice inel principal este un inel factorial; demonstrația obișnuită a descompunerii unice a întregilor (teorema fundamentală a aritmeticii) este valabilă în orice inel factorial.

Exemple de ideale principale Idealele principalele din sunt de forma De fapt, este un ideal principal, care poate fi prezentat după cum urmează. Se presupune că unde și fie surjective Deoarece este finit, pentru suficient de mare există Astfel, care implică că este întotdeauna generat finit. Deoarece idealul generat de orice numere întregi și este exact prin inducție asupra numărului de generatori rezultă că este principal.

Totuși, toate inelele au ideale principale, și anume orice ideal generat de exact un element. De exemplu, idealul este un ideal principal al și este un ideal principal al lui De fapt, și sunt idealele principale ale oricărui inel

Proprietăți Orice este un inel principal. Algoritmul folosit pentru a calcula cel mai mare divizor comun poate fi folosit pentru a găsi un generator al oricărui ideal. Mai general, oricare două ideale principale dintr-un inel comutativ au un cel mai mare divizor comun în sensul înmulțirii idealelor. În inelele principale aceasta ne permite să calculăm cei mai mari divizori comuni ai elementelor inelului, până la înmulțirea cu o unitate. Se definește ca fiind orice generator al idealului

Pentru un și un ideal care nu este principal al se poate pune întrebarea dacă există extensia a astfel încât idealul lui generat de este principal (spus mai vag, devine principal în ). Această întrebare a apărut în legătură cu studiul inelelor de numere întregi algebrice (care sunt exemple de domenii Dedekind) în teoria numerelor și a condus la dezvoltarea de către Teiji Takagi, Emil Artin, David Hilbert și mulți alții.

Teorema idealului principal a teoriei corpurilor de clase afirmă că orice inel de întregi (adică inelul numerelor întregi al unui ) este conținut într-un inel de întregi mai mare care are proprietatea că orice ideal al lui devine un ideal principal al lui În această teoremă se poate lua ca fiind inelul de numere întregi al corpului de clase Hilbert al ; adică extensia abeliană neramificată maximă (adică, extensia Galois a cărei este abelian) a corpului fracțiilor lui iar acest lucru este determinat în mod unic de către

Teorema idealului principal a lui Krull afirmă că dacă este un și este un ideal principal, propriu, al lui , atunci are înălțimea de cel mult unu.

Note

Bibliografie

Categorie:Ideale Categorie:Algebră comutativă