În matematică, în special în algebra abstractă, un inel artinianMihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02 este un inel care satisface condiția lanțului descendent la idealele unilaterale, adică nu există o succesiune infinită descendentă de ideale. Inelele artiniene sunt numite după Emil Artin, care a descoperit pentru prima dată condiția lanțului descendent pentru ideale, generalizând simultan și inelele care sunt spații vectoriale finit dimensionale peste corpuri.
Mai exact, un inel este artinian stâng dacă satisface condiția lanțului descendent la idealele stângi, artinian drept dacă satisface condiția lanțului descendent la idealele drepte și artinian sau artinian bilateral dacă este și artinian stâng și dreapt.Brešar, 2014, p. 73 La inele comutative definițiile pentru stâng și drept coincid, dar în cazul general sunt distincte una de alta.
Teorema Wedderburn–Artin caracterizează orice inel artinian simplu ca fiind un peste un corp. Aceasta implică faptul că un inel simplu este artinian stâng dacă și numai dacă este artinian drept.
Aceeași definiție și terminologie pot fi aplicate și la , cu idealele înlocuite cu submodule.
Deși condiția lanțului descendent pare duală față de condiția lanțului ascendent, în inele este de fapt condiția mai puternică. Mai exact, o consecință a teoremei Hopkins–Levitzki este că un inel artinian stâng (respectiv drept) este automat un stâng (respectiv drept). Acest lucru nu este valabil pentru module în general, adică un nu trebuie să fie un modul noetherian.
Exemple și contraexemple Un domeniu de integritate este artinian dacă și numai dacă este un corp. Un inel cu multe ideale finite, să zicem stângi, este artinian. În particular, un (de exemplu ) este artinian bilateral. Fie k un corp. Atunci este artinian pentru orice număr întreg n pozitiv. Similar, este un inel artinian cu idealul maximal . Fie un automorfism între un spațiu vectorial finit dimensional V. Atunci subalgebra generată de este un inel artinian comutativ. Dacă I este un ideal nenul al unui A, atunci este un inel de ideale principale artinian.Clark, Teorema 20.11 Pentru orice , întregul inel de matrici peste un inel artinian stâng (respectiv noetherian stâng) R este artinian stâng (respectiv noetherian stâng).Cohn, 2003, 5.2 Exercise 11
Următoarele două sunt exemple de inele care nu sunt artiniene. Dacă R este orice inel, atunci R[x] nu este artinian, deoarece idealul generat de este conținut (corespunzător) în idealul generat de pentru toate numerele naturale n. În schimb, dacă R este noetherian, la fel este și R[x] după . Inelul numerelor întregi este un inel noetherian, dar nu este artinian.
Module peste inele artiniene Fie M un modul stâng peste un inel artinian stâng. Atunci următoarele sunt echivalente (teorema lui Hopkins–Levitzki): (i) M este , (ii) M are finită (adică are ), (iii) M este noetherian, (iv) M este artinian.Bourbaki, 2012, VIII, p. 7
Inele artiniene comutative Fie A un inel noetherian comutativ cu unitate. Atunci următoarele propoziții sunt echivalente. A este artinian. A este un produs finit de artiniene comutative.Atiyah, Macdonald, 1969, Theorems 8.7 A / nil(A) este un inel semisimplu, unde nil(A) este nilradicalul al A. Fiecare modul finit generat peste A are lungime finită. A are dimensiunea Krull zero.Atiyah, Macdonald, 1969, Thorems 8.5 (În particular, nilradicalul este deoarece idealele prime sunt maximale.) este finit și discret.Atiyah, Macdonald, 1969, Ch. 8, Exercise 2
Fie k un corp și A o k-algebră finit generată. Atunci A este artinian dacă și numai dacă A este finit generat drept k-modul.
Un inel local artinian este complet. Inelul factor și unui inel artinian sunt artiniene.
Inel artinian simplu O versiune a teoremei Wedderburn–Artin afirmă că un inel artinian simplu A este un inel de matrici peste un corp.Milnor, 1971, p. 144
Este surjectiv. Demonstrație: Dacă nu este injectiv, atunci fie cu nenul. Atunci, prin minimalitatea lui I, avem: . Prin urmare: , :care contrazice minimalitatea lui k. Prin urmare, și, prin urmare, .
Note
Bibliografie
Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
Categorie:Teoria inelelor Categorie:Structuri algebrice