În algebră, fiind date un și un submodul, se poate construi modulul factor al acestora. Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră: 5. Teoria categoriilor, Craiova, Ed. Universitaria, 2002, , p. 90 Această construcție, descrisă mai jos, este foarte asemănătoare cu cea a unui vectorial.Roman, 2008, p. 117 Diferă de construcțiile factor analoage ale inelelor și grupurilor prin faptul că în aceste cazuri care este utilizat pentru definirea factorului nu este de aceeași natură cu spațiul ambiental (adică un inel factor este câtul unui inel printr-un ideal, nu printr-un subinel, iar un grup factor este câtul unui grup printr-un subgrup normal, nu printr-un subgrup general). Fiind dat un modul peste un inel și un submodul al lui , este definit de relația de echivalență dacă și numai dacă pentru orice din .Roman, 2008, p. 118, Theorem 4.7 Elementele lui sunt Funcția care trimite din cu clasa sa de echivalență se numește aplicația factor sau aplicația de proiecție și este un .
Adunarea pe este definită pentru două clase de echivalență drept clasa de echivalență a sumei a doi reprezentanți din aceste clase. Și înmulțirea scalară a elementelor lui cu elementele lui este definită similar. De reținut că trebuie arătat că aceste operații sunt bine definite. Atunci devine în sine un -modul, numit modul factor. În simboluri, pentru orice din și din :
Exemple Fie , cu coeficienți reali și . Fie submodulul
al lui , adică submodulul tuturor polinoamelor divizibile cu . Rezultă că relația de echivalență determinată de acest modul va fi dacă și numai dacă și dau același rest la împărțirea cu
Prin urmare, în modulul factor este la fel ca 0; astfel încât se poate privi așa cum este obținut din punând Acest modul factor este izomorf în numerele complexe privit ca un modul peste numerele reale
Note
Bibliografie
Categorie:Teoria modulelor