În geometrie un poliedru snub este un poliedru obținut prin efectuarea unei operații snub: alternare a poliedrul omnitrunchiat sau trunchiat corespunzător, în funcție de definiție. Unii autori, dar nu toți, includ antiprismele între poliedrele snub deoarece acestea sunt obținute prin această construcție dintr-un „poliedru” degenerat cu doar două fețe (un diedru).

Poliedrele snub chirale nu au întotdeauna simetrie de reflexie, prin urmare uneori au două forme enantiomorfe („stângi” și „drepte”) care sunt reflectări una a celeilalte. Grupurile de simetrie ale acestora sunt toate .

De exemplu, cubul snub: 100px 100px

Poliedrele snub au simbolul Wythoff și, prin extensie, configurația vârfurilor . Poliedrele retrosnub (o submulțime a poliedrelor snub, care conține marele icosaedru, micul icosicosidodecaedru retrosnub și marele icosidodecaedru retrosnub) au această formă de simbol Wythoff, dar configurațiile vârfurilor lor sunt

Lista poliedrelor snub

Uniforme Există 12 poliedre uniforme, fără să cuprindă antiprismele, icosaedrul ca tetraedru snub, marele icosaedru ca tetraedru retrosnub și marele dirombidodecaedru disnub, cunoscut și sub numele de figura lui Skilling.

Când triunghiul Schwarz al poliedrului snub este isoscel, poliedrul snub nu este chiral. Acesta este cazul antiprismelor, al icosaedrului, al marelui icosaedru, al micului icosicosidodecaedru snub și al micului icosicosidodecaedru retrosnub.

În imaginile derivate snub (care arată un poliedru snub distorsionat, identic topologic cu versiunea uniformă, ajuns la alternarea geometrică a poliedrului omnitruncat uniform părinte) unde verdele nu este prezent, fețele derivate din alternare sunt colorate în roșu și galben, în timp ce triunghiurile snub sunt albastre. Acolo unde verdele este prezent (numai pentru icosidodecadodecaedrul snub și marele dodecicosidodecaedru snub), fețele derivate din alternări sunt roșii, galbene și albastre, în timp ce triunghiurile snub sunt verzi. Poliedru snub Imagine Poliedrul omnitrunchiat original Imagine Dervatul snub Grup de simetrie Simbol WythoffConfigurația vârfului Icosaedru (tetraedru snub) 100px Octaedru trunchiat 100px 100px Ih (Th) | 3 3 23.3.3.3.3 Marele icosaedru (tetraedru retrosnub) 100px Octaedru trunchiat 100px 100px Ih (Th) | 2 3/2 3/2(3.3.3.3.3)/2 Cub snubsau cuboctaedru snub 100px Cuboctaedru trunchiat 100px 100px O | 4 3 23.3.3.3.4 Dodecaedru snubsau icosidodecaedru snub 100px Icosidodecaedru trunchiat 100px 100px I | 5 3 23.3.3.3.5 Micul icosicosidodecaedru snub 100px Icosaedru trunchiat dublu acoperit 100px 100px Ih | 3 3 5/23.3.3.3.3.5/2 Dodecadodecaedru snub 100px Micul rombidodecaedru cu 12{10/2} fețe suplimentare 100px 100px I | 5 5/2 23.3.5/2.3.5 Icosidodecadodecaedru snub 100px Dodecadodecaedru icositrunchiat 100px 100px I | 5 3 5/33.5/3.3.3.3.5 Marele icosidodecaedru snub 100px Rombicosaedru cu 12{10/2} fețe suplimentare 100px 100px I | 3 5/2 23.3.5/2.3.3 Dodecadodecaedru snub inversat 100px Dodecadodecaedru trunchiat 100px 100px I | 5 2 5/33.5/3.3.3.3.5 Marele dodecicosidodecaedru snub 100px Marele dodecicosaedru cu 12{10/2} fețe suplimentare 100px — I | 3 5/2 5/33.5/3.3.5/2.3.3 Marele icosidodecaedru snub inversat 100px Marele icosidodecaedru trunchiat 100px 100px I | 3 2 5/33.5/3.3.3.3 Micul icosicosidodecaedru retrosnub 100px Icosaedru trunchiat dublu acoperit 100px — Ih | 5/2 3/2 3/2(3.3.3.3.3.5/2)/2 Marele icosidodecaedru retrosnub 100px Marele rombidodecaedru cu 20{6/2} de fețe suplimentare 100px — I | 2 5/3 3/2(3.3.3.5/2.3)/2 Marele dirombicosidodecaedru 100px — — — Ih | 3/2 5/3 3 5/2(4.3/2.4.5/3.4.3.4.5/2)/2 Marele dirombidodecaedru disnub 100px — — — Ih | (3/2) 5/3 (3) 5/2(3/2.3/2.3/2.4.5/3.4.3.3.3.4.5/2.4)/2

Note Icosaedrul, cubul snub și dodecaedrul snub sunt singurele trei poliedre convexe. Ele sunt obținute prin aplicarea operației snub asupra octaedrului trunchiat, a cuboctaedrului trunchiat și a icosidodecaedrului trunchiat – cele trei poliedre cvasiregulate trunchiate convexe. Singurul poliedru snub chiral cu simetrie octaedrică este cubul snub. Numai icosaedrul și marele icosaedru sunt poliedre regulate. Ele sunt, de asemenea, deltaedre. Numai icosaedrul, marele icosaedru, micul icosicosidodecaedru snub, micul icosicosidodecaedrul retrosnub, marele dirombicosidodecaedru și marele dirombidodecaedru snub au simetrii de reflexie.

Mai există și mulțimea infinită de antiprisme. Ele sunt formate din prisme, care sunt hosoedre trunchiate, poliedre regulate degenerate. Cele până la hexagonale sunt enumerate mai jos. În imaginile care prezintă derivatele snub, fețele derivate din alternări (ale bazelor prismelor) sunt colorate în roșu, iar triunghiurile snub sunt colorate în galben. Excepția este tetraedrul, pentru care toate fețele sunt derivate ca triunghiuri snub roșii deoarece alternarea bazelor pătrate ale cubului are ca rezultat fețe digonale degenerate.

Poliedru snub Imagine Poliedrul omnitrunchiat original Imagine Dervatul snub Grup de simetrie Simbol WythoffConfigurația vârfului Tetraedru 100px Cub 100px 100px Td (D2d) | 2 2 23.3.3 Octaedru 100px Prismă hexagonală 100px 100px Oh (D3d) | 3 2 23.3.3.3 Antiprismă pătrată 100px Prismă octogonală 100px 100px D4d | 4 2 23.4.3.3 Antiprismă pentagonală 100px Prismă decagonală 100px 100px D5d | 5 2 23.5.3.3 Antiprismă pentagramică 100px Prismă pentagonală dublu acoperită 100px 100px D5h | 5/2 2 23.5/2.3.3 Retroprismă pentagramică 100px Prismă decagramică 100px 100px D5d | 2 2 5/33.5/3.3.3 Antiprismă hexagonală 100px Prismă dodecagonală 100px 100px D6d | 6 2 23.6.3.3

Note Două dintre aceste poliedre pot fi construite din primele două poliedre snub din listă, începând cu icosaedrul: antiprisma pentagonală este un icosaedru parabidiminuat, iar retroprisma pentagramică este un mare icosaedru parabidiminuat.

Neuniforme Două poliedre Johnson sunt poliedre snub: bisfenoidul snub și antiprisma pătrată snub. Niciunul dintre ele nu este chiral.

Poliedru snub Imagine Poliedrul original Imagine Grup de simetrie Bisfenoid snub 100px Bisfenoid 100px D2d Antiprismă pătrată snub 100px Antiprismă pătrată 100px D4d

Bibliografie

Mäder, R. E., Uniform Polyhedra, Mathematica J. 3, 48-57, 1993.

snub